Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x + 7}{x}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{x + 7}{x}$ come un'equazione.

$y = \frac{x + 7}{x}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{y + 7}{y}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{y + 7}{y} = x$ .

$\frac{y + 7}{y} = x$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y, 1$

Passaggio 3.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $y$ ciascun termine in $\frac{y + 7}{y} = x$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{y + 7}{y} = x$ per $y$ .

$\frac{y + 7}{y} y = x y$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y + 7}{y} y = x y$

Passaggio 3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y + 7 = x y$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y + 7 - x y = 0$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y - x y = - 7$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $y$ da $y - x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - x y = - 7$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $y$ da $- x y$ .

$y \cdot 1 + y (- x) = - 7$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $y$ da $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$y (1 - x) = - 7$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $1 - x$ ciascun termine in $y (1 - x) = - 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $1 - x$ ciascun termine in $y (1 - x) = - 7$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{- 7}{1 - x}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{- 7}{1 - x}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 7}{1 - x}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{7}{1 - x}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{7}{1 - x}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = - \frac{7}{1 - x}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x + 7}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{x + 7}{x})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - \frac{7}{1 - (\frac{x + 7}{x})}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - \frac{7}{\frac{x}{x} - \frac{x + 7}{x}}$

Passaggio 5.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - \frac{7}{\frac{x - (x + 7)}{x}}$

Passaggio 5.2.3.3

Riscrivi $\frac{x - (x + 7)}{x}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - \frac{7}{\frac{x - x - 1 \cdot 7}{x}}$

Passaggio 5.2.3.3.2

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - \frac{7}{\frac{x - x - 7}{x}}$

Passaggio 5.2.3.3.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - \frac{7}{\frac{0 - 7}{x}}$

Passaggio 5.2.3.3.4

Sottrai $7$ da $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - \frac{7}{\frac{- 7}{x}}$

Passaggio 5.2.3.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - \frac{7}{- \frac{7}{x}}$

Passaggio 5.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - (7 (- \frac{x}{7}))$

Passaggio 5.2.5

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x}{7}$ nel numeratore.

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - (7 (\frac{- x}{7}))$

Passaggio 5.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = - (7 (\frac{- x}{7}))$

Passaggio 5.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x + 7}{x}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (- \frac{7}{1 - x})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = \frac{(- \frac{7}{1 - x}) + 7}{- \frac{7}{1 - x}}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = (- \frac{7}{1 - x} + 7) (- \frac{1 - x}{7})$

Passaggio 5.3.4

Per scrivere $7$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = (- \frac{7}{1 - x} + \frac{7 (1 - x)}{1 - x}) (- \frac{1 - x}{7})$

Passaggio 5.3.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = \frac{- 7 + 7 (1 - x)}{1 - x} \cdot (- \frac{1 - x}{7})$

Passaggio 5.3.5.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = - \frac{- 7 + 7 (1 - x)}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{7}$

Passaggio 5.3.5.3

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{- 7 + 7 (1 - x)}{1 - x}$ nel numeratore.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = \frac{- (- 7 + 7 (1 - x))}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{7}$

Passaggio 5.3.5.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = \frac{- (- 7 + 7 (1 - x))}{1 - x} \cdot \frac{1 - x}{7}$

Passaggio 5.3.5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = - (- 7 + 7 (1 - x)) \frac{1}{7}$

Passaggio 5.3.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = - (- 7 + 7 \cdot 1 + 7 (- x)) \frac{1}{7}$

Passaggio 5.3.6.2

Moltiplica $7$ per $1$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = - (- 7 + 7 + 7 (- x)) \frac{1}{7}$

Passaggio 5.3.6.3

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = - (- 7 + 7 - 7 x) \frac{1}{7}$

Passaggio 5.3.7

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Somma $- 7$ e $7$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = - (0 - 7 x) \frac{1}{7}$

Passaggio 5.3.7.2

Sottrai $7 x$ da $0$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = 7 x \frac{1}{7}$

Passaggio 5.3.7.3

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.3.1

Scomponi $7$ da $- (- 7 x)$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = 7 (x) (\frac{1}{7})$

Passaggio 5.3.7.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = 7 (x) (\frac{1}{7})$

Passaggio 5.3.7.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{7}{1 - x}) = x$

Passaggio 5.3.7.4

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = 1 x$

Passaggio 5.3.7.4.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (- \frac{7}{1 - x}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = - \frac{7}{1 - x}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x + 7}{x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{7}{1 - x}$