Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ come un'equazione.

$y = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{6}{\sqrt{8 - y}}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{6}{\sqrt{8 - y}} = x$ .

$\frac{6}{\sqrt{8 - y}} = x$

Passaggio 3.2

Esegui una moltiplicazione incrociata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Esegui una moltiplicazione incrociata impostando il prodotto del numeratore del lato destro e il denominatore del lato sinistro in modo che siano uguali al prodotto del numeratore del lato sinistro e del denominatore del lato destro.

$x \cdot (\sqrt{8 - y}) = 6$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Moltiplica $x$ per $\sqrt{8 - y}$ .

$x \sqrt{8 - y} = 6$

Passaggio 3.3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(x \sqrt{8 - y})}^{2} = 6^{2}$

Passaggio 3.4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{8 - y}$ come ${(8 - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x {(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ${(x {(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $x {(8 - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} {({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} {(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} {(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} {(8 - y)}^{1} = 6^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.3

Semplifica.

$x^{2} (8 - y) = 6^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} \cdot 8 + x^{2} (- y) = 6^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.5

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.5.1

Sposta $8$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$8 \cdot x^{2} + x^{2} (- y) = 6^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.5.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$8 x^{2} - x^{2} y = 6^{2}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$8 x^{2} - x^{2} y = 36$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sottrai $8 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} y = 36 - 8 x^{2}$

Passaggio 3.5.2

Dividi per $- x^{2}$ ciascun termine in $- x^{2} y = 36 - 8 x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Dividi per $- x^{2}$ ciascun termine in $- x^{2} y = 36 - 8 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} y}{- x^{2}} = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Passaggio 3.5.2.2.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Passaggio 3.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{36}{x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{36}{x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{36}{x^{2}} + \frac{- 8}{- 1}$

Passaggio 3.5.2.3.1.2.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 8}{- 1}$ .

$y = - \frac{36}{x^{2}} - 1 \cdot - 8$

Passaggio 3.5.2.3.1.3

Riscrivi $- 1 \cdot - 8$ come $- - 8$ .

$y = - \frac{36}{x^{2}} - - 8$

Passaggio 3.5.2.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$y = - \frac{36}{x^{2}} + 8$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$ è l'inverso di $f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{{(\frac{6}{\sqrt{8 - x}})}^{2}} + 8$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{6^{2}}{{\sqrt{8 - x}}^{2}}} + 8$

Passaggio 5.2.3.1.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{\sqrt{8 - x}}^{2}}} + 8$

Passaggio 5.2.3.1.3

Riscrivi ${\sqrt{8 - x}}^{2}$ come $8 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{8 - x}$ come ${(8 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{({(8 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} + 8$

Passaggio 5.2.3.1.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{(8 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} + 8$

Passaggio 5.2.3.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{(8 - x)}^{\frac{2}{2}}}} + 8$

Passaggio 5.2.3.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{(8 - x)}^{\frac{2}{2}}}} + 8$

Passaggio 5.2.3.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{8 - x}} + 8$

Passaggio 5.2.3.1.3.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{8 - x}} + 8$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - (36 (\frac{8 - x}{36})) + 8$

Passaggio 5.2.3.3

Elimina il fattore comune di $36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - (36 (\frac{8 - x}{36})) + 8$

Passaggio 5.2.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - (8 - x) + 8$

Passaggio 5.2.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 1 \cdot 8 + x + 8$

Passaggio 5.2.3.5

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 8 + x + 8$

Passaggio 5.2.3.6

Moltiplica $- - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 8 + 1 x + 8$

Passaggio 5.2.3.6.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 8 + x + 8$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $- 8 + x + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Somma $- 8$ e $8$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (- \frac{36}{x^{2}} + 8)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - (- \frac{36}{x^{2}} + 8)}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Per scrivere $8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - (- \frac{36}{x^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2}})}}$

Passaggio 5.3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{- 36 + 8 x^{2}}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $4$ da $- 36 + 8 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Scomponi $4$ da $- 36$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{4 (- 9) + 8 x^{2}}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Scomponi $4$ da $8 x^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{4 (- 9) + 4 (2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.3.3.3.3

Scomponi $4$ da $4 (- 9) + 4 (2 x^{2})$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.3.3.4

Per scrivere $8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{8 x^{2}}{x^{2}} - \frac{4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.3.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{8 x^{2} - 4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.3.3.6

Riscrivi $\frac{8 x^{2} - 4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.1

Scomponi $4$ da $8 x^{2} - 4 (- 9 + 2 x^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.1.1

Scomponi $4$ da $8 x^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2}) - 4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.3.3.6.1.2

Scomponi $4$ da $- 4 (- 9 + 2 x^{2})$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2}) + 4 (- (- 9 + 2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.3.3.6.1.3

Scomponi $4$ da $4 (2 x^{2}) + 4 (- (- 9 + 2 x^{2}))$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} - (- 9 + 2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.3.3.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} + 9 - (2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.3.3.6.3

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} + 9 - (2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.3.3.6.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} + 9 - 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.3.3.6.5

Sottrai $2 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (0 + 9)}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.3.3.6.6

Somma $0$ e $9$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 \cdot 9}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.3.3.7

Moltiplica $4$ per $9$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{36}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.3.3.8

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{6^{2}}{x^{2}}}}$

Passaggio 5.3.3.9

Riscrivi $\frac{6^{2}}{x^{2}}$ come ${(\frac{6}{x})}^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{{(\frac{6}{x})}^{2}}}$

Passaggio 5.3.3.10

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\frac{6}{x}}$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = 6 (\frac{x}{6})$

Passaggio 5.3.5

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = 6 (\frac{x}{6})$

Passaggio 5.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$ è l'inverso di $f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$