Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$ come un'equazione.

$y = \frac{x}{2 x + 1}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{y}{2 y + 1}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{y}{2 y + 1} = x$ .

$\frac{y}{2 y + 1} = x$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 y + 1, 1$

Passaggio 3.2.2

Rimuovi le parentesi.

$2 y + 1, 1$

Passaggio 3.2.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$2 y + 1$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $2 y + 1$ ciascun termine in $\frac{y}{2 y + 1} = x$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{y}{2 y + 1} = x$ per $2 y + 1$ .

$\frac{y}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2 y + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

Passaggio 3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = x (2 y + 1)$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = x (2 y) + x \cdot 1$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = 2 x y + x \cdot 1$

Passaggio 3.3.3.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$y = 2 x y + x$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y - 2 x y = x$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $y$ da $y - 2 x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - 2 x y = x$

Passaggio 3.4.2.2

Scomponi $y$ da $- 2 x y$ .

$y \cdot 1 + y (- 2 x) = x$

Passaggio 3.4.2.3

Scomponi $y$ da $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ .

$y (1 - 2 x) = x$

Passaggio 3.4.3

Dividi per $1 - 2 x$ ciascun termine in $y (1 - 2 x) = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Dividi per $1 - 2 x$ ciascun termine in $y (1 - 2 x) = x$ .

$\frac{y (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Passaggio 3.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $1 - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Passaggio 3.4.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x}{1 - 2 x}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{\frac{x}{2 x + 1}}{1 - 2 \frac{x}{2 x + 1}}$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{1 - 2 \frac{x}{2 x + 1}}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

$- 2$ e $\frac{x}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{1 + \frac{- 2 x}{2 x + 1}}$

Passaggio 5.2.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2 x}{2 x + 1}}$

Passaggio 5.2.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{2 x}{2 x + 1}}$

Passaggio 5.2.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 1 - 2 x}{2 x + 1}}$

Passaggio 5.2.4.5

Riordina i termini.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 x - 2 x + 1}{2 x + 1}}$

Passaggio 5.2.4.6

Riscrivi $\frac{2 x - 2 x + 1}{2 x + 1}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.6.1

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{2 x + 1}}$

Passaggio 5.2.4.6.2

Somma $0$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 x + 1}}$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot (1 (2 x + 1))$

Passaggio 5.2.6

Elimina il fattore comune di $2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Scomponi $2 x + 1$ da $1 (2 x + 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot ((2 x + 1) \cdot 1)$

Passaggio 5.2.6.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot ((2 x + 1) \cdot 1)$

Passaggio 5.2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{x}{1 - 2 x})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{2 (\frac{x}{1 - 2 x}) + 1}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{2 (\frac{x}{1 - 2 x}) + 1}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

$2$ e $\frac{x}{1 - 2 x}$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{1 - 2 x} + 1}$

Passaggio 5.3.4.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{1 - 2 x} + \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}}$

Passaggio 5.3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 1 - 2 x}{1 - 2 x}}$

Passaggio 5.3.4.4

Riordina i termini.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x - 2 x + 1}{- 2 x + 1}}$

Passaggio 5.3.4.5

Riscrivi $\frac{2 x - 2 x + 1}{- 2 x + 1}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.5.1

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{- 2 x + 1}}$

Passaggio 5.3.4.5.2

Somma $0$ e $1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{- 2 x + 1}}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 (- 2 x + 1))$

Passaggio 5.3.6

Moltiplica $- 2 x + 1$ per $1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (- 2 x + 1)$

Passaggio 5.3.7

Moltiplica $\frac{x}{1 - 2 x}$ per $- 2 x + 1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x (- 2 x + 1)}{1 - 2 x}$

Passaggio 5.3.8

Elimina il fattore comune di $- 2 x + 1$ e $1 - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Riordina i termini.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x (- 2 x + 1)}{- 2 x + 1}$

Passaggio 5.3.8.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x (- 2 x + 1)}{- 2 x + 1}$

Passaggio 5.3.8.3

Dividi $x$ per $1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$