Precalcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{7 - 2 x}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \sqrt{7 - 2 x}$ come un'equazione.

$y = \sqrt{7 - 2 x}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \sqrt{7 - 2 y}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{7 - 2 y} = x$ .

$\sqrt{7 - 2 y} = x$

Passaggio 3.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{7 - 2 y}}^{2} = x^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7 - 2 y}$ come ${(7 - 2 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(7 - 2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ${({(7 - 2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(7 - 2 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 - 2 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(7 - 2 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(7 - 2 y)}^{1} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica.

$7 - 2 y = x^{2}$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 y = x^{2} - 7$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 y = x^{2} - 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 y = x^{2} - 7$ .

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{- 7}{- 2}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 y}{- 2} = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{- 7}{- 2}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 2} + \frac{- 7}{- 2}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 7}{- 2}$

Passaggio 3.4.2.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{7 - 2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = - \frac{{(\sqrt{7 - 2 x})}^{2}}{2} + \frac{7}{2}$

Passaggio 5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{- {(\sqrt{7 - 2 x})}^{2} + 7}{2}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Riscrivi ${\sqrt{7 - 2 x}}^{2}$ come $7 - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{7 - 2 x}$ come ${(7 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{- {({(7 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 7}{2}$

Passaggio 5.2.4.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{- {(7 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 7}{2}$

Passaggio 5.2.4.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{- {(7 - 2 x)}^{\frac{2}{2}} + 7}{2}$

Passaggio 5.2.4.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{- {(7 - 2 x)}^{\frac{2}{2}} + 7}{2}$

Passaggio 5.2.4.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{- (7 - 2 x) + 7}{2}$

Passaggio 5.2.4.1.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{- (7 - 2 x) + 7}{2}$

Passaggio 5.2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{- 1 \cdot 7 - (- 2 x) + 7}{2}$

Passaggio 5.2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{- 7 - (- 2 x) + 7}{2}$

Passaggio 5.2.4.4

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{- 7 + 2 x + 7}{2}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Combina i termini opposti in $- 7 + 2 x + 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.1

Somma $- 7$ e $7$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Passaggio 5.2.5.1.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.2.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.2.5.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{7 - 2 x}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{7 - 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2})}$

Passaggio 5.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{7 - 2 (- \frac{x^{2}}{2}) - 2 (\frac{7}{2})}$

Passaggio 5.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{2}}{2}$ nel numeratore.

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{7 - 2 \frac{- x^{2}}{2} - 2 (\frac{7}{2})}$

Passaggio 5.3.4.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{7 + 2 (- 1) (\frac{- x^{2}}{2}) - 2 (\frac{7}{2})}$

Passaggio 5.3.4.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{7 + 2 \cdot (- 1 \frac{- x^{2}}{2}) - 2 (\frac{7}{2})}$

Passaggio 5.3.4.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{7 - 1 (- x^{2}) - 2 (\frac{7}{2})}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{7 + 1 x^{2} - 2 (\frac{7}{2})}$

Passaggio 5.3.5.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{7 + x^{2} - 2 (\frac{7}{2})}$

Passaggio 5.3.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{7 + x^{2} + 2 (- 1) (\frac{7}{2})}$

Passaggio 5.3.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{7 + x^{2} + 2 \cdot (- 1 (\frac{7}{2}))}$

Passaggio 5.3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{7 + x^{2} - 1 \cdot 7}$

Passaggio 5.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{7 + x^{2} - 7}$

Passaggio 5.3.7.2

Sottrai $7$ da $7$ .

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Passaggio 5.3.7.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = \sqrt{x^{2}}$

Passaggio 5.3.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{7 - 2 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{7}{2}$