Precalcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{6 x - 3}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \sqrt{6 x - 3}$ come un'equazione.

$y = \sqrt{6 x - 3}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \sqrt{6 y - 3}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{6 y - 3} = x$ .

$\sqrt{6 y - 3} = x$

Passaggio 3.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{6 y - 3}}^{2} = x^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6 y - 3}$ come ${(6 y - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ${({(6 y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(6 y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 y - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(6 y - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(6 y - 3)}^{1} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica.

$6 y - 3 = x^{2}$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$6 y = x^{2} + 3$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 y = x^{2} + 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 y = x^{2} + 3$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{6}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{6}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{6}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3 (1)}{6}$

Passaggio 3.4.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Passaggio 3.4.2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{6 x - 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{(\sqrt{6 x - 3})}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Scomponi $3$ da $6 x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1.1

Scomponi $3$ da $6 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{\sqrt{3 (2 x) - 3}}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.1.1.2

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{\sqrt{3 (2 x) + 3 (- 1)}}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.1.1.3

Scomponi $3$ da $3 (2 x) + 3 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{\sqrt{3 (2 x - 1)}}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Riscrivi ${\sqrt{3 (2 x - 1)}}^{2}$ come $3 (2 x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 (2 x - 1)}$ come ${(3 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{({(3 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{(3 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{(3 (2 x - 1))}^{\frac{2}{2}}}{6} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{(3 (2 x - 1))}^{\frac{2}{2}}}{6} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{6} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.1.2.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{6} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x) + 3 \cdot - 1}{6} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.1.4

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{6 x + 3 \cdot - 1}{6} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.1.5

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{6 x - 3}{6} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.1.6

Scomponi $3$ da $6 x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.6.1

Scomponi $3$ da $6 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x) - 3}{6} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.1.6.2

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x) + 3 (- 1)}{6} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.1.6.3

Scomponi $3$ da $3 (2 x) + 3 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{6} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x - 1}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Passaggio 5.2.4.2

Combina i termini opposti in $2 x - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.2.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.2.4.3.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{6 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) - 3}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $3$ da $6 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $3$ da $6 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})) - 3}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})) + 3 (- 1)}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $3$ da $3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})) + 3 (- 1)$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) - 1)}$

Passaggio 5.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Passaggio 5.3.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{2 (3)}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Passaggio 5.3.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{2 \cdot 3}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Passaggio 5.3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Passaggio 5.3.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Passaggio 5.3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 1 - 1)}$

Passaggio 5.3.7

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 0)}$

Passaggio 5.3.7.2

Somma $\frac{x^{2}}{3}$ e $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3})}$

Passaggio 5.3.8

$3$ e $\frac{x^{2}}{3}$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

Passaggio 5.3.9

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1

Riduci l'espressione $\frac{3 x^{2}}{3}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

Passaggio 5.3.9.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Passaggio 5.3.9.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{x^{2}}$

Passaggio 5.3.10

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{6 x - 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$