Precalcolo Esempi

$f (x) = e^{x - 5} - 5$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = e^{x - 5} - 5$ come un'equazione.

$y = e^{x - 5} - 5$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = e^{y - 5} - 5$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $e^{y - 5} - 5 = x$ .

$e^{y - 5} - 5 = x$

Passaggio 3.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$e^{y - 5} = x + 5$

Passaggio 3.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y - 5}) = \ln (x + 5)$

Passaggio 3.4

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.4.1

Espandi $\ln (e^{y - 5})$ spostando $y - 5$ fuori dal logaritmo.

$(y - 5) \ln (e) = \ln (x + 5)$

Passaggio 3.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(y - 5) \cdot 1 = \ln (x + 5)$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $y - 5$ per $1$ .

$y - 5 = \ln (x + 5)$

Passaggio 3.5

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \ln (x + 5) + 5$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 5) + 5$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \ln (x + 5) + 5$ è l'inverso di $f (x) = e^{x - 5} - 5$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (e^{x - 5} - 5)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = \ln ((e^{x - 5} - 5) + 5) + 5$

Passaggio 5.2.3

Combina i termini opposti in $\ln ((e^{x - 5} - 5) + 5) + 5$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Somma $- 5$ e $5$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = \ln (e^{x - 5} + 0) + 5$

Passaggio 5.2.3.2

Somma $e^{x - 5}$ e $0$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = \ln (e^{x - 5}) + 5$

Passaggio 5.2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.4.1

Usa le regole del logaritmo per togliere $x - 5$ dall'esponente.

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = (x - 5) \ln (e) + 5$

Passaggio 5.2.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = (x - 5) \cdot 1 + 5$

Passaggio 5.2.4.3

Moltiplica $x - 5$ per $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = x - 5 + 5$

Passaggio 5.2.5

Combina i termini opposti in $x - 5 + 5$ .

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Passaggio 5.2.5.1

Somma $- 5$ e $5$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = x + 0$

Passaggio 5.2.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\ln (x + 5) + 5)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (x + 5) + 5) = e^{(\ln (x + 5) + 5) - 5} - 5$

Passaggio 5.3.3

Combina i termini opposti in $e^{(\ln (x + 5) + 5) - 5} - 5$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Sottrai $5$ da $5$ .

$f (\ln (x + 5) + 5) = e^{\ln (x + 5) + 0} - 5$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $\ln (x + 5)$ e $0$ .

$f (\ln (x + 5) + 5) = e^{\ln (x + 5)} - 5$

Passaggio 5.3.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (x + 5) + 5) = x + 5 - 5$

Passaggio 5.3.5

Combina i termini opposti in $x + 5 - 5$ .

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Passaggio 5.3.5.1

Sottrai $5$ da $5$ .

$f (\ln (x + 5) + 5) = x + 0$

Passaggio 5.3.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\ln (x + 5) + 5) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \ln (x + 5) + 5$ è l'inverso di $f (x) = e^{x - 5} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 5) + 5$