Precalcolo Esempi

$f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ come un'equazione.

$y = 2 \sqrt{x} + 3$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 2 \sqrt{y} + 3$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $2 \sqrt{y} + 3 = x$ .

$2 \sqrt{y} + 3 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sqrt{y} = x - 3$

Passaggio 3.3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{y})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Passaggio 3.4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 y^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.4

Semplifica.

$4 y = {(x - 3)}^{2}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Semplifica ${(x - 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1

Riscrivi ${(x - 3)}^{2}$ come $(x - 3) (x - 3)$ .

$4 y = (x - 3) (x - 3)$

Passaggio 3.4.3.1.2

Espandi $(x - 3) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 y = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

Passaggio 3.4.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

Passaggio 3.4.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Passaggio 3.4.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 y = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$4 y = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$4 y = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

Passaggio 3.4.3.1.3.2

Sottrai $3 x$ da $- 3 x$ .

$4 y = x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 3.5

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = x^{2} - 6 x + 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = x^{2} - 6 x + 9$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 6 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{4} + \frac{9}{4}$

Passaggio 3.5.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (2)} + \frac{9}{4}$

Passaggio 3.5.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 2} + \frac{9}{4}$

Passaggio 3.5.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{9}{4}$

Passaggio 3.5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$ è l'inverso di $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2} + \frac{9}{4}$

Passaggio 5.2.3

Per scrivere $- \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{4}$

Passaggio 5.2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Moltiplica $\frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{4}$

Passaggio 5.2.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{4} + \frac{9}{4}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{4} + \frac{9}{4}$

Passaggio 5.2.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2 + 9}{4}$

Passaggio 5.2.5.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 3 (2 \sqrt{x}) - 3 \cdot 3) \cdot 2 + 9}{4}$

Passaggio 5.2.5.3.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 6 \sqrt{x} - 3 \cdot 3) \cdot 2 + 9}{4}$

Passaggio 5.2.5.3.3

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 6 \sqrt{x} - 9) \cdot 2 + 9}{4}$

Passaggio 5.2.5.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 6 \sqrt{x} \cdot 2 - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

Passaggio 5.2.5.3.5

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

Passaggio 5.2.5.3.6

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 18 + 9}{4}$

Passaggio 5.2.5.4

Somma $- 18$ e $9$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 9}{4}$

Passaggio 5.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Sia $u = \sqrt{x}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\sqrt{x}$ con $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1.1

Sottrai $12 u$ da $12 u$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 0 + 9 - 9}{4}$

Passaggio 5.2.6.1.2

Somma $4 u^{2}$ e $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 9 - 9}{4}$

Passaggio 5.2.6.1.3

Sottrai $9$ da $9$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 0}{4}$

Passaggio 5.2.6.1.4

Somma $4 u^{2}$ e $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2}}{4}$

Passaggio 5.2.6.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 {\sqrt{x}}^{2}}{4}$

Passaggio 5.2.6.3

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Passaggio 5.2.6.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Passaggio 5.2.6.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 5.2.6.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

Passaggio 5.2.6.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

Passaggio 5.2.6.3.5

Semplifica.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

Passaggio 5.2.7

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

Passaggio 5.2.7.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Passaggio 5.3.3

Rimuovi le parentesi.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Passaggio 5.3.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{2^{2}} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Passaggio 5.3.4.1.2

Riscrivi $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ come ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Passaggio 5.3.4.1.3

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{3^{2}}{4}} + 3$

Passaggio 5.3.4.1.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{3^{2}}{2^{2}}} + 3$

Passaggio 5.3.4.1.5

Riscrivi $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ come ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} + 3$

Passaggio 5.3.4.1.6

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$\frac{3 x}{2} = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Passaggio 5.3.4.1.7

Riscrivi il polinomio.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} + 3$

Passaggio 5.3.4.1.8

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = \frac{x}{2}$ e $b = \frac{3}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2} - \frac{3}{2})}^{2}} + 3$

Passaggio 5.3.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x - 3}{2})}^{2}} + 3$

Passaggio 5.3.4.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{x - 3}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}} + 3$

Passaggio 5.3.4.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{4}} + 3$

Passaggio 5.3.4.5

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}} + 3$

Passaggio 5.3.4.6

Riscrivi $\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}$ come ${(\frac{x - 3}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x - 3}{2})}^{2}} + 3$

Passaggio 5.3.4.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 (\frac{x - 3}{2}) + 3$

Passaggio 5.3.4.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.8.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 (\frac{x - 3}{2}) + 3$

Passaggio 5.3.4.8.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x - 3 + 3$

Passaggio 5.3.5

Combina i termini opposti in $x - 3 + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Somma $- 3$ e $3$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x + 0$

Passaggio 5.3.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$ è l'inverso di $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$