Precalcolo Esempi

$f (x) = 16 - {(- x)}^{2}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 16 - {(- x)}^{2}$ come un'equazione.

$y = 16 - {(- x)}^{2}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 16 - {(- y)}^{2}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $16 - {(- y)}^{2} = x$ .

$16 - {(- y)}^{2} = x$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la regola del prodotto a $- y$ .

$16 - ({(- 1)}^{2} y^{2}) = x$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Sposta ${(- 1)}^{2}$ .

$16 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 y^{2} = x$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica ${(- 1)}^{2}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$16 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} y^{2} = x$

Passaggio 3.2.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$16 + {(- 1)}^{2 + 1} y^{2} = x$

Passaggio 3.2.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$16 + {(- 1)}^{3} y^{2} = x$

Passaggio 3.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$16 - y^{2} = x$

Passaggio 3.3

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y^{2} = x - 16$

Passaggio 3.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y^{2} = x - 16$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y^{2} = x - 16$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 3.4.2.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.4.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{x}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot x + \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 3.4.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot x$ come $- x$ .

$y^{2} = - x + \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 3.4.3.1.3

Dividi $- 16$ per $- 1$ .

$y^{2} = - x + 16$

Passaggio 3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- x + 16}$

Passaggio 3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{- x + 16}$

Passaggio 3.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{- x + 16}$

Passaggio 3.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{- x + 16}$

$y = - \sqrt{- x + 16}$

$y = \sqrt{- x + 16}$

$y = - \sqrt{- x + 16}$

$y = \sqrt{- x + 16}$

$y = - \sqrt{- x + 16}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 16}, - \sqrt{- x + 16}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 16}, - \sqrt{- x + 16}$ è l'inverso di $f (x) = 16 - {(- x)}^{2}$ .

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Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = 16 - {(- x)}^{2}$ e $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 16}, - \sqrt{- x + 16}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = 16 - {(- x)}^{2}$ .

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Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 16]$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $\sqrt{- x + 16}$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{- x + 16}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$- x + 16 \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x \geq - 16$

Passaggio 5.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 16$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x \geq - 16$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{- 16}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.2.2.3.1

Dividi $- 16$ per $- 1$ .

$x \leq 16$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 16]$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (x) = 16 - {(- x)}^{2}$ .

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Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 16}, - \sqrt{- x + 16}$ è l'intervallo di $f (x) = 16 - {(- x)}^{2}$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 16}, - \sqrt{- x + 16}$ è il dominio di $f (x) = 16 - {(- x)}^{2}$ , allora $f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 16}, - \sqrt{- x + 16}$ è l'inverso di $f (x) = 16 - {(- x)}^{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt{- x + 16}, - \sqrt{- x + 16}$

Passaggio 6