Precalcolo Esempi

$f (x) = 4 \log_{3} (x)$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 4 \log_{3} (x)$ come un'equazione.

$y = 4 \log_{3} (x)$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 4 \log_{3} (y)$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $4 \log_{3} (y) = x$ .

$4 \log_{3} (y) = x$

Passaggio 3.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \log_{3} (y) = x$ e semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \log_{3} (y) = x$ .

$\frac{4 \log_{3} (y)}{4} = \frac{x}{4}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \log_{3} (y)}{4} = \frac{x}{4}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $\log_{3} (y)$ per $1$ .

$\log_{3} (y) = \frac{x}{4}$

Passaggio 3.3

Riscrivi $\log_{3} (y) = \frac{x}{4}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{\frac{x}{4}} = y$

Passaggio 3.4

Riscrivi l'equazione come $y = 3^{\frac{x}{4}}$ .

$y = 3^{\frac{x}{4}}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = 3^{\frac{x}{4}}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = 3^{\frac{x}{4}}$ è l'inverso di $f (x) = 4 \log_{3} (x)$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (4 \log_{3} (x))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 \log_{3} (x)) = 3^{\frac{4 \log_{3} (x)}{4}}$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (4 \log_{3} (x)) = 3^{\frac{4 \log_{3} (x)}{4}}$

Passaggio 5.2.3.2

Dividi $\log_{3} (x)$ per $1$ .

$f^{- 1} (4 \log_{3} (x)) = 3^{\log_{3} (x)}$

Passaggio 5.2.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (4 \log_{3} (x)) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (3^{\frac{x}{4}})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (3^{\frac{x}{4}}) = 4 \log_{3} (3^{\frac{x}{4}})$

Passaggio 5.3.3

Usa le regole del logaritmo per togliere $\frac{x}{4}$ dall'esponente.

$f (3^{\frac{x}{4}}) = 4 (\frac{x}{4} \cdot \log_{3} (3))$

Passaggio 5.3.4

Il logaritmo in base $3$ di $3$ è $1$ .

$f (3^{\frac{x}{4}}) = 4 (\frac{x}{4} \cdot 1)$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $\frac{x}{4}$ per $1$ .

$f (3^{\frac{x}{4}}) = 4 (\frac{x}{4})$

Passaggio 5.3.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 5.3.6.1

Elimina il fattore comune.

$f (3^{\frac{x}{4}}) = 4 (\frac{x}{4})$

Passaggio 5.3.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f (3^{\frac{x}{4}}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 3^{\frac{x}{4}}$ è l'inverso di $f (x) = 4 \log_{3} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = 3^{\frac{x}{4}}$