Precalcolo Esempi

$f (x) = \ln (3 x) - 2$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \ln (3 x) - 2$ come un'equazione.

$y = \ln (3 x) - 2$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \ln (3 y) - 2$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\ln (3 y) - 2 = x$ .

$\ln (3 y) - 2 = x$

Passaggio 3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\ln (3 y) = x + 2$

Passaggio 3.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (3 y)} = e^{x + 2}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\ln (3 y) = x + 2$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + 2} = 3 y$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $3 y = e^{x + 2}$ .

$3 y = e^{x + 2}$

Passaggio 3.5.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = e^{x + 2}$ e semplifica.

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Passaggio 3.5.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = e^{x + 2}$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x + 2}}{3}$

Passaggio 3.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x + 2}}{3}$

Passaggio 3.5.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{e^{x + 2}}{3}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$ è l'inverso di $f (x) = \ln (3 x) - 2$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\ln (3 x) - 2)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{e^{(\ln (3 x) - 2) + 2}}{3}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.3.1

Combina i termini opposti in $\ln (3 x) - 2 + 2$ .

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Passaggio 5.2.3.1.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{e^{\ln (3 x) + 0}}{3}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Somma $\ln (3 x)$ e $0$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{e^{\ln (3 x)}}{3}$

Passaggio 5.2.3.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{3 x}{3}$

Passaggio 5.2.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{3 x}{3}$

Passaggio 5.2.4.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{e^{x + 2}}{3})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x + 2}}{3})) - 2$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x + 2}}{3})) - 2$

Passaggio 5.3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = \ln (e^{x + 2}) - 2$

Passaggio 5.3.3.2

Usa le regole del logaritmo per togliere $x + 2$ dall'esponente.

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = (x + 2) \ln (e) - 2$

Passaggio 5.3.3.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = (x + 2) \cdot 1 - 2$

Passaggio 5.3.3.4

Moltiplica $x + 2$ per $1$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = x + 2 - 2$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $x + 2 - 2$ .

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Passaggio 5.3.4.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = x + 0$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$ è l'inverso di $f (x) = \ln (3 x) - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$