Precalcolo Esempi

$f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ come un'equazione.

$y = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$ .

$500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$

Passaggio 3.2

Dividi per $500$ ciascun termine in $500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $500$ ciascun termine in $500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2} = x$ .

$\frac{500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2}}{500} = \frac{x}{500}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $500$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{500 {(1 - \frac{y}{50})}^{2}}{500} = \frac{x}{500}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi ${(1 - \frac{y}{50})}^{2}$ per $1$ .

${(1 - \frac{y}{50})}^{2} = \frac{x}{500}$

Passaggio 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{\frac{x}{500}}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{x}{500}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi $\frac{x}{500}$ come ${(\frac{1}{10})}^{2} \frac{x}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $x$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{500}}$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi la potenza perfetta $10^{2}$ su $500$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{\frac{1^{2} x}{10^{2} \cdot 5}}$

Passaggio 3.4.1.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} x}{10^{2} \cdot 5}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \sqrt{{(\frac{1}{10})}^{2} \frac{x}{5}}$

Passaggio 3.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \sqrt{\frac{x}{5}}$

Passaggio 3.4.3

Riscrivi $\sqrt{\frac{x}{5}}$ come $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} (\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

Passaggio 3.4.5

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 3.4.5.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Passaggio 3.4.5.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Passaggio 3.4.5.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.4.5.5

Somma $1$ e $1$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 3.4.5.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.4.5.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.4.5.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.5.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.5.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Passaggio 3.4.5.6.5

Calcola l'esponente.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x} \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 3.4.6

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{5}$

Passaggio 3.4.7

Moltiplica $\frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1

Moltiplica $\frac{1}{10}$ per $\frac{\sqrt{x \cdot 5}}{5}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{10 \cdot 5}$

Passaggio 3.4.7.2

Moltiplica $10$ per $5$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{50}$

Passaggio 3.4.8

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{x \cdot 5}}{50}$ .

$1 - \frac{y}{50} = \pm \frac{\sqrt{5 x}}{50}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$1 - \frac{y}{50} = \frac{\sqrt{5 x}}{50}$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{y}{50} = \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 50$ .

$- 50 (- \frac{y}{50}) = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Passaggio 3.5.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.1

Semplifica $- 50 (- \frac{y}{50})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.1.1

Elimina il fattore comune di $50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y}{50}$ nel numeratore.

$- 50 \frac{- y}{50} = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Passaggio 3.5.4.1.1.1.2

Scomponi $50$ da $- 50$ .

$50 (- 1) \frac{- y}{50} = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Passaggio 3.5.4.1.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$50 \cdot - 1 \frac{- y}{50} = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Passaggio 3.5.4.1.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- - y = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Passaggio 3.5.4.1.1.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 y = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Passaggio 3.5.4.1.1.2.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = - 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Passaggio 3.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1

Semplifica $- 50 (\frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = - 50 \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Passaggio 3.5.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1.2.1

Scomponi $50$ da $- 50$ .

$y = 50 (- 1) \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Passaggio 3.5.4.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = 50 \cdot - 1 \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Passaggio 3.5.4.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = - \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

Passaggio 3.5.4.2.1.3

Moltiplica $- 50$ per $- 1$ .

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

Passaggio 3.5.5

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$1 - \frac{y}{50} = - \frac{\sqrt{5 x}}{50}$

Passaggio 3.5.6

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{y}{50} = - \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1$

Passaggio 3.5.7

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 50$ .

$- 50 (- \frac{y}{50}) = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Passaggio 3.5.8

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.1.1

Semplifica $- 50 (- \frac{y}{50})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.1.1.1

Elimina il fattore comune di $50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y}{50}$ nel numeratore.

$- 50 \frac{- y}{50} = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Passaggio 3.5.8.1.1.1.2

Scomponi $50$ da $- 50$ .

$50 (- 1) \frac{- y}{50} = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Passaggio 3.5.8.1.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$50 \cdot - 1 \frac{- y}{50} = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Passaggio 3.5.8.1.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- - y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Passaggio 3.5.8.1.1.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Passaggio 3.5.8.1.1.2.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$

Passaggio 3.5.8.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.2.1

Semplifica $- 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50} - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = - 50 (- \frac{\sqrt{5 x}}{50}) - 50 \cdot - 1$

Passaggio 3.5.8.2.1.2

Elimina il fattore comune di $50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{5 x}}{50}$ nel numeratore.

$y = - 50 \frac{- \sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Passaggio 3.5.8.2.1.2.2

Scomponi $50$ da $- 50$ .

$y = 50 (- 1) \frac{- \sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Passaggio 3.5.8.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$y = 50 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{5 x}}{50} - 50 \cdot - 1$

Passaggio 3.5.8.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$y = - - \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

Passaggio 3.5.8.2.1.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = 1 \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

Passaggio 3.5.8.2.1.3.2

Moltiplica $\sqrt{5 x}$ per $1$ .

$y = \sqrt{5 x} - 50 \cdot - 1$

Passaggio 3.5.8.2.1.3.3

Moltiplica $- 50$ per $- 1$ .

$y = \sqrt{5 x} + 50$

Passaggio 3.5.9

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

$y = \sqrt{5 x} + 50$

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

$y = \sqrt{5 x} + 50$

$y = - \sqrt{5 x} + 50$

$y = \sqrt{5 x} + 50$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ è l'inverso di $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ e $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $- \sqrt{5 x} + 50$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{5 x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$5 x \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 x \geq 0$ .

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{0}{5}$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 x}{5} \geq \frac{0}{5}$

Passaggio 5.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{0}{5}$

Passaggio 5.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Dividi $0$ per $5$ .

$x \geq 0$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[0, \infty)$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ è l'intervallo di $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ è il dominio di $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ , allora $f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$ è l'inverso di $f (x) = 500 {(1 - \frac{x}{50})}^{2}$ .

$f^{- 1} (x) = - \sqrt{5 x} + 50, \sqrt{5 x} + 50$

Passaggio 6