Precalcolo Esempi

$f (x) = 6 x^{3} - 8$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 6 x^{3} - 8$ come un'equazione.

$y = 6 x^{3} - 8$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 6 y^{3} - 8$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $6 y^{3} - 8 = x$ .

$6 y^{3} - 8 = x$

Passaggio 3.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$6 y^{3} = x + 8$

Passaggio 3.3

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 y^{3} = x + 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 y^{3} = x + 8$ .

$\frac{6 y^{3}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{8}{6}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 y^{3}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{8}{6}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $y^{3}$ per $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{8}{6}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Elimina il fattore comune di $8$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{2 (4)}{6}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{4}{3}$

Passaggio 3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4}{3}}$

Passaggio 3.5

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per scrivere $\frac{4}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 3.5.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Moltiplica $\frac{4}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}}$

Passaggio 3.5.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4 \cdot 2}{6}}$

Passaggio 3.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 4 \cdot 2}{6}}$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica $4$ per $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 8}{6}}$

Passaggio 3.5.5

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{x + 8}{6}}$ come $\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}}$

Passaggio 3.5.6

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Passaggio 3.5.7

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Passaggio 3.5.7.2

Eleva $\sqrt[3]{6}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

Passaggio 3.5.7.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1 + 2}}$

Passaggio 3.5.7.4

Somma $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{3}}$

Passaggio 3.5.7.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{6}}^{3}$ come $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{6}$ come $6^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{(6^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 3.5.7.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 3.5.7.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.5.7.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.5.7.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{1}}$

Passaggio 3.5.7.5.5

Calcola l'esponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6}$

Passaggio 3.5.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.8.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{6}}^{2}$ come $\sqrt[3]{6^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} \sqrt[3]{6^{2}}}{6}$

Passaggio 3.5.8.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} \sqrt[3]{36}}{6}$

Passaggio 3.5.9

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.9.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 8) \cdot 36}}{6}$

Passaggio 3.5.9.2

Riordina i fattori in $\frac{\sqrt[3]{(x + 8) \cdot 36}}{6}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$ è l'inverso di $f (x) = 6 x^{3} - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (6 x^{3} - 8)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{36 ((6 x^{3} - 8) + 8)}}{6}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Somma $- 8$ e $8$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x^{3} + 0)}}{6}$

Passaggio 5.2.3.2

Somma $6 x^{3}$ e $0$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{36 \cdot (6 x^{3})}}{6}$

Passaggio 5.2.3.3

Moltiplica $36$ per $6$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{216 x^{3}}}{6}$

Passaggio 5.2.3.4

Riscrivi $216 x^{3}$ come ${(6 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{{(6 x)}^{3}}}{6}$

Passaggio 5.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{6 x}{6}$

Passaggio 5.2.4

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{6 x}{6}$

Passaggio 5.2.4.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 {(\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6})}^{3} - 8$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}^{3}}{6^{3}}) - 8$

Passaggio 5.3.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{36 (x + 8)}}^{3}$ come $36 (x + 8)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{36 (x + 8)}$ come ${(36 (x + 8))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{({(36 (x + 8))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{6^{3}}) - 8$

Passaggio 5.3.3.2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 8))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{6^{3}}) - 8$

Passaggio 5.3.3.2.1.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 8))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}) - 8$

Passaggio 5.3.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 8))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}) - 8$

Passaggio 5.3.3.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6^{3}}) - 8$

Passaggio 5.3.3.2.1.5

Semplifica.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6^{3}}) - 8$

Passaggio 5.3.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 36 \cdot 8}{6^{3}}) - 8$

Passaggio 5.3.3.2.3

Moltiplica $36$ per $8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 288}{6^{3}}) - 8$

Passaggio 5.3.3.2.4

Scomponi $36$ da $36 x + 288$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.4.1

Scomponi $36$ da $36 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x) + 288}{6^{3}}) - 8$

Passaggio 5.3.3.2.4.2

Scomponi $36$ da $288$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 36 \cdot 8}{6^{3}}) - 8$

Passaggio 5.3.3.2.4.3

Scomponi $36$ da $36 x + 36 \cdot 8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6^{3}}) - 8$

Passaggio 5.3.3.3

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{216}) - 8$

Passaggio 5.3.3.4

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.4.1

Scomponi $6$ da $216$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6 (36)}) - 8$

Passaggio 5.3.3.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6 \cdot 36}) - 8$

Passaggio 5.3.3.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = \frac{36 (x + 8)}{36} - 8$

Passaggio 5.3.3.5

Elimina il fattore comune di $36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = \frac{36 (x + 8)}{36} - 8$

Passaggio 5.3.3.5.2

Dividi $x + 8$ per $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = x + 8 - 8$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $x + 8 - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Sottrai $8$ da $8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = x + 0$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$ è l'inverso di $f (x) = 6 x^{3} - 8$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$