Precalcolo Esempi

$f (x) = 6 + \sqrt[3]{x}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 6 + \sqrt[3]{x}$ come un'equazione.

$y = 6 + \sqrt[3]{x}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 6 + \sqrt[3]{y}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $6 + \sqrt[3]{y} = x$ .

$6 + \sqrt[3]{y} = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt[3]{y} = x - 6$

Passaggio 3.3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(x - 6)}^{3}$

Passaggio 3.4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{y}$ come $y^{\frac{1}{3}}$ .

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 6)}^{3}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 6)}^{3}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 6)}^{3}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {(x - 6)}^{3}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Semplifica.

$y = {(x - 6)}^{3}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Semplifica ${(x - 6)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1

Usa il teorema binomiale.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 6 + 3 x {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3}$

Passaggio 3.4.3.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.2.1

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$y = x^{3} - 18 x^{2} + 3 x {(- 6)}^{2} + {(- 6)}^{3}$

Passaggio 3.4.3.1.2.2

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$y = x^{3} - 18 x^{2} + 3 x \cdot 36 + {(- 6)}^{3}$

Passaggio 3.4.3.1.2.3

Moltiplica $36$ per $3$ .

$y = x^{3} - 18 x^{2} + 108 x + {(- 6)}^{3}$

Passaggio 3.4.3.1.2.4

Eleva $- 6$ alla potenza di $3$ .

$y = x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216$ è l'inverso di $f (x) = 6 + \sqrt[3]{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = {(6 + \sqrt[3]{x})}^{3} - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Usa il teorema binomiale.

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 6^{3} + 3 \cdot (6^{2} \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot (6 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 3 \cdot (6^{2} \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot (6 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.2.2

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 3 \cdot (36 \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot (6 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.2.3

Moltiplica $3$ per $36$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 3 \cdot (6 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.2.4

Moltiplica $3$ per $6$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 {\sqrt[3]{x}}^{2} + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.2.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ come $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.2.6

Riscrivi ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.2.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.2.6.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{3}{3}} - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.2.6.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{3}{3}} - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.2.6.5

Semplifica.

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 {(6 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.3

Riscrivi ${(6 + \sqrt[3]{x})}^{2}$ come $(6 + \sqrt[3]{x}) (6 + \sqrt[3]{x})$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 ((6 + \sqrt[3]{x}) (6 + \sqrt[3]{x})) + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.4

Espandi $(6 + \sqrt[3]{x}) (6 + \sqrt[3]{x})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 (6 (6 + \sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{x} (6 + \sqrt[3]{x})) + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 (6 \cdot 6 + 6 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} (6 + \sqrt[3]{x})) + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 (6 \cdot 6 + 6 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 6 + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.5.1.1

Moltiplica $6$ per $6$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 (36 + 6 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 6 + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.5.1.2

Sposta $6$ alla sinistra di $\sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 (36 + 6 \sqrt[3]{x} + 6 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.5.1.3

Moltiplica $\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.5.1.3.1

Eleva $\sqrt[3]{x}$ alla potenza di $1$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 (36 + 6 \sqrt[3]{x} + 6 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.5.1.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 (36 + 6 \sqrt[3]{x} + 6 \sqrt[3]{x} + {\sqrt[3]{x}}^{1 + 1}) + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.5.1.3.3

Somma $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 (36 + 6 \sqrt[3]{x} + 6 \sqrt[3]{x} + {\sqrt[3]{x}}^{2}) + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.5.1.4

Riscrivi ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ come $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 (36 + 6 \sqrt[3]{x} + 6 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^{2}}) + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.5.2

Somma $6 \sqrt[3]{x}$ e $6 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 (36 + 12 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^{2}}) + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.6

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 18 \cdot 36 - 18 (12 \sqrt[3]{x}) - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.7.1

Moltiplica $- 18$ per $36$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 648 - 18 (12 \sqrt[3]{x}) - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.7.2

Moltiplica $12$ per $- 18$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 648 - 216 \sqrt[3]{x} - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 (6 + \sqrt[3]{x}) - 216$

Passaggio 5.2.3.8

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 648 - 216 \sqrt[3]{x} - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 108 \cdot 6 + 108 \sqrt[3]{x} - 216$

Passaggio 5.2.3.9

Moltiplica $108$ per $6$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 648 - 216 \sqrt[3]{x} - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 648 + 108 \sqrt[3]{x} - 216$

Passaggio 5.2.4

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Combina i termini opposti in $216 + 108 \sqrt[3]{x} + 18 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 648 - 216 \sqrt[3]{x} - 18 \sqrt[3]{x^{2}} + 648 + 108 \sqrt[3]{x} - 216$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

Sottrai $18 \sqrt[3]{x^{2}}$ da $18 \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + 0 + x - 648 - 216 \sqrt[3]{x} + 648 + 108 \sqrt[3]{x} - 216$

Passaggio 5.2.4.1.2

Somma $216 + 108 \sqrt[3]{x}$ e $0$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + x - 648 - 216 \sqrt[3]{x} + 648 + 108 \sqrt[3]{x} - 216$

Passaggio 5.2.4.1.3

Somma $- 648$ e $648$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + x + 0 - 216 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x} - 216$

Passaggio 5.2.4.1.4

Somma $216 + 108 \sqrt[3]{x} + x$ e $0$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 216 + 108 \sqrt[3]{x} + x - 216 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x} - 216$

Passaggio 5.2.4.1.5

Sottrai $216$ da $216$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 0 + 108 \sqrt[3]{x} + x - 216 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x}$

Passaggio 5.2.4.1.6

Somma $0$ e $108 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = 108 \sqrt[3]{x} + x - 216 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x}$

Passaggio 5.2.4.2

Sottrai $216 \sqrt[3]{x}$ da $108 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = x - 108 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x}$

Passaggio 5.2.4.3

Combina i termini opposti in $x - 108 \sqrt[3]{x} + 108 \sqrt[3]{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Somma $- 108 \sqrt[3]{x}$ e $108 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.3.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (6 + \sqrt[3]{x}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216) = 6 + \sqrt[3]{x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Rendi ogni termine uguale ai termini dalla formula del teorema binomiale.

$f (x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216) = 6 + \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (6 x^{2}) + 3 \cdot (6^{2} x) - 1 \cdot 6^{3}}$

Passaggio 5.3.3.2

Fattorizza $x^{3} - 3 \cdot 6 x^{2} + 3 \cdot 6^{2} x - 1 \cdot 6^{3}$ usando il teorema dei binomi.

$f (x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216) = 6 + \sqrt[3]{{(x - 6)}^{3}}$

Passaggio 5.3.3.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f (x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216) = 6 + x - 6$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $6 + x - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Sottrai $6$ da $6$ .

$f (x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216) = x + 0$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216$ è l'inverso di $f (x) = 6 + \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 18 x^{2} + 108 x - 216$