Precalcolo Esempi

$A (x) = x^{\frac{1}{3}} - 3$

Passaggio 1

Scrivi $A (x) = x^{\frac{1}{3}} - 3$ come un'equazione.

$y = x^{\frac{1}{3}} - 3$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = y^{\frac{1}{3}} - 3$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $y^{\frac{1}{3}} - 3 = x$ .

$y^{\frac{1}{3}} - 3 = x$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{\frac{1}{3}} - x = 3$

Passaggio 3.2.2

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{\frac{1}{3}} = 3 + x$

Passaggio 3.3

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $3$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(3 + x)}^{3}$

Passaggio 3.4

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Semplifica ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 + x)}^{3}$

Passaggio 3.4.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(3 + x)}^{3}$

Passaggio 3.4.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {(3 + x)}^{3}$

Passaggio 3.4.1.1.2

Semplifica.

$y = {(3 + x)}^{3}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ${(3 + x)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Usa il teorema binomiale.

$y = 3^{3} + 3 \cdot 3^{2} x + 3 \cdot 3 x^{2} + x^{3}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.2.1

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$y = 27 + 3 \cdot 3^{2} x + 3 \cdot 3 x^{2} + x^{3}$

Passaggio 3.4.2.1.2.2

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.2.2.1

Moltiplica $3$ per $3^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.2.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $1$ .

$y = 27 + 3^{1} \cdot 3^{2} x + 3 \cdot 3 x^{2} + x^{3}$

Passaggio 3.4.2.1.2.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = 27 + 3^{1 + 2} x + 3 \cdot 3 x^{2} + x^{3}$

Passaggio 3.4.2.1.2.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$y = 27 + 3^{3} x + 3 \cdot 3 x^{2} + x^{3}$

Passaggio 3.4.2.1.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$y = 27 + 27 x + 3 \cdot 3 x^{2} + x^{3}$

Passaggio 3.4.2.1.2.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$y = 27 + 27 x + 9 x^{2} + x^{3}$

Passaggio 3.5

Semplifica $27 + 27 x + 9 x^{2} + x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta $27$ .

$y = 27 x + 9 x^{2} + x^{3} + 27$

Passaggio 3.5.2

Sposta $27 x$ .

$y = 9 x^{2} + x^{3} + 27 x + 27$

Passaggio 3.5.3

Riordina $9 x^{2}$ e $x^{3}$ .

$y = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

Passaggio 4

Replace $y$ with $A^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$A^{- 1} (x) = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$

Passaggio 5

Verifica se $A^{- 1} (x) = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ è l'inverso di $A (x) = x^{\frac{1}{3}} - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $A^{- 1} (A (x)) = x$ e $A (A^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $A^{- 1} (A (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$A^{- 1} (A (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3)$ sostituendo il valore di $A$ in $A^{- 1}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Usa il teorema binomiale.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Passaggio 5.2.3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Passaggio 5.2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 5.2.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Passaggio 5.2.3.2.2

Semplifica.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Passaggio 5.2.3.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 3 x^{\frac{1}{3} \cdot 2} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Passaggio 5.2.3.2.3.2

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} \cdot - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Passaggio 5.2.3.2.4

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Passaggio 5.2.3.2.5

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 9 + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Passaggio 5.2.3.2.6

Moltiplica $9$ per $3$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} + {(- 3)}^{3} + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Passaggio 5.2.3.2.7

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 {(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2} + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Passaggio 5.2.3.3

Riscrivi ${(x^{\frac{1}{3}} - 3)}^{2}$ come $(x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3)$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 ((x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3)) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Passaggio 5.2.3.4

Espandi $(x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} - 3) - 3 (x^{\frac{1}{3}} - 3)) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Passaggio 5.2.3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 (x^{\frac{1}{3}} - 3)) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Passaggio 5.2.3.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot - 3) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Passaggio 5.2.3.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.5.1.1

Moltiplica $x^{\frac{1}{3}}$ per $x^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.5.1.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot - 3) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Passaggio 5.2.3.5.1.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot - 3) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Passaggio 5.2.3.5.1.1.3

Somma $1$ e $1$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 3 - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot - 3) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Passaggio 5.2.3.5.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{3}}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{2}{3}} - 3 \cdot x^{\frac{1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot - 3) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Passaggio 5.2.3.5.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{2}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 9) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Passaggio 5.2.3.5.2

Sottrai $3 x^{\frac{1}{3}}$ da $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 (x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 9) + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Passaggio 5.2.3.6

Applica la proprietà distributiva.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 x^{\frac{2}{3}} + 9 (- 6 x^{\frac{1}{3}}) + 9 \cdot 9 + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Passaggio 5.2.3.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.7.1

Moltiplica $- 6$ per $9$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 9 \cdot 9 + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Passaggio 5.2.3.7.2

Moltiplica $9$ per $9$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 27 (x^{\frac{1}{3}} - 3) + 27$

Passaggio 5.2.3.8

Applica la proprietà distributiva.

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 27 x^{\frac{1}{3}} + 27 \cdot - 3 + 27$

Passaggio 5.2.3.9

Moltiplica $27$ per $- 3$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 27 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 27$

Passaggio 5.2.4

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Combina i termini opposti in $x - 9 x^{\frac{2}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 9 x^{\frac{2}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 27 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

Somma $- 9 x^{\frac{2}{3}}$ e $9 x^{\frac{2}{3}}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 + 0 - 54 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 27 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 27$

Passaggio 5.2.4.1.2

Somma $x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27$ e $0$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 - 54 x^{\frac{1}{3}} + 81 + 27 x^{\frac{1}{3}} - 81 + 27$

Passaggio 5.2.4.1.3

Sottrai $81$ da $81$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 - 54 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} + 0 + 27$

Passaggio 5.2.4.1.4

Somma $x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 - 54 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}}$ e $0$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 27 - 54 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} + 27$

Passaggio 5.2.4.1.5

Somma $- 27$ e $27$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}} + 0$

Passaggio 5.2.4.1.6

Somma $x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}}$ e $0$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 27 x^{\frac{1}{3}} - 54 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.2.4.2

Sottrai $54 x^{\frac{1}{3}}$ da $27 x^{\frac{1}{3}}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x - 27 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.2.4.3

Combina i termini opposti in $x - 27 x^{\frac{1}{3}} + 27 x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Somma $- 27 x^{\frac{1}{3}}$ e $27 x^{\frac{1}{3}}$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.3.2

Somma $x$ e $0$ .

$A^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} - 3) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $A (A^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$A (A^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $A (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27)$ sostituendo il valore di $A^{- 1}$ in $A$ .

$A (x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27) = {(x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27)}^{\frac{1}{3}} - 3$

Passaggio 5.4

Poiché $A^{- 1} (A (x)) = x$ e $A (A^{- 1} (x)) = x$ , allora $A^{- 1} (x) = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ è l'inverso di $A (x) = x^{\frac{1}{3}} - 3$ .

$A^{- 1} (x) = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$