Precalcolo Esempi

$f (x) = {(x - 1)}^{2} - 2$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = {(x - 1)}^{2} - 2$ come un'equazione.

$y = {(x - 1)}^{2} - 2$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = {(y - 1)}^{2} - 2$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come ${(y - 1)}^{2} - 2 = x$ .

${(y - 1)}^{2} - 2 = x$

Passaggio 3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

${(y - 1)}^{2} = x + 2$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y - 1 = \pm \sqrt{x + 2}$

Passaggio 3.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.4.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y - 1 = \sqrt{x + 2}$

Passaggio 3.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \sqrt{x + 2} + 1$

Passaggio 3.4.3

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y - 1 = - \sqrt{x + 2}$

Passaggio 3.4.4

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \sqrt{x + 2} + 1$

Passaggio 3.4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{x + 2} + 1$

$y = - \sqrt{x + 2} + 1$

$y = \sqrt{x + 2} + 1$

$y = - \sqrt{x + 2} + 1$

$y = \sqrt{x + 2} + 1$

$y = - \sqrt{x + 2} + 1$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 2} + 1, - \sqrt{x + 2} + 1$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 2} + 1, - \sqrt{x + 2} + 1$ è l'inverso di $f (x) = {(x - 1)}^{2} - 2$ .

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Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = {(x - 1)}^{2} - 2$ e $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 2} + 1, - \sqrt{x + 2} + 1$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = {(x - 1)}^{2} - 2$ .

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Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- 2, \infty)$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $\sqrt{x + 2} + 1$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x + 2}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x + 2 \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq - 2$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[- 2, \infty)$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (x) = {(x - 1)}^{2} - 2$ .

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Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 2} + 1, - \sqrt{x + 2} + 1$ è l'intervallo di $f (x) = {(x - 1)}^{2} - 2$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 2} + 1, - \sqrt{x + 2} + 1$ è il dominio di $f (x) = {(x - 1)}^{2} - 2$ , allora $f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 2} + 1, - \sqrt{x + 2} + 1$ è l'inverso di $f (x) = {(x - 1)}^{2} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt{x + 2} + 1, - \sqrt{x + 2} + 1$

Passaggio 6