Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{3}{x - 1} + 2$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{3}{x - 1} + 2$ come un'equazione.

$y = \frac{3}{x - 1} + 2$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{3}{y - 1} + 2$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{3}{y - 1} + 2 = x$ .

$\frac{3}{y - 1} + 2 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{3}{y - 1} = x - 2$

Passaggio 3.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y - 1, 1, 1$

Passaggio 3.3.2

Rimuovi le parentesi.

$y - 1, 1, 1$

Passaggio 3.3.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y - 1$

Passaggio 3.4

Moltiplica per $y - 1$ ciascun termine in $\frac{3}{y - 1} = x - 2$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{3}{y - 1} = x - 2$ per $y - 1$ .

$\frac{3}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - 2 (y - 1)$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - 2 (y - 1)$

Passaggio 3.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$3 = x (y - 1) - 2 (y - 1)$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 = x y + x \cdot - 1 - 2 (y - 1)$

Passaggio 3.4.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$3 = x y - 1 \cdot x - 2 (y - 1)$

Passaggio 3.4.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$3 = x y - x - 2 (y - 1)$

Passaggio 3.4.3.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$3 = x y - x - 2 y - 2 \cdot - 1$

Passaggio 3.4.3.1.5

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$3 = x y - x - 2 y + 2$

Passaggio 3.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $x y - x - 2 y + 2 = 3$ .

$x y - x - 2 y + 2 = 3$

Passaggio 3.5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x y - 2 y + 2 = 3 + x$

Passaggio 3.5.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y - 2 y = 3 + x - 2$

Passaggio 3.5.2.3

Sottrai $2$ da $3$ .

$x y - 2 y = x + 1$

Passaggio 3.5.3

Scomponi $y$ da $x y - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$y x - 2 y = x + 1$

Passaggio 3.5.3.2

Scomponi $y$ da $- 2 y$ .

$y x + y \cdot - 2 = x + 1$

Passaggio 3.5.3.3

Scomponi $y$ da $y x + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = x + 1$

Passaggio 3.5.4

Dividi per $x - 2$ ciascun termine in $y (x - 2) = x + 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Dividi per $x - 2$ ciascun termine in $y (x - 2) = x + 1$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 2}$

Passaggio 3.5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 2}$

Passaggio 3.5.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 2}$

Passaggio 3.5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x + 1}{x - 2}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{3}{x - 1} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{(\frac{3}{x - 1} + 2) + 1}{(\frac{3}{x - 1} + 2) - 2}$

Passaggio 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $\frac{\frac{3}{x - 1} + 2 + 1}{\frac{3}{x - 1} + 2 - 2}$ per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{3}{x - 1} + 2 + 1}{\frac{3}{x - 1} + 2 - 2}$

Passaggio 5.2.3.2

Combina.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{(x - 1) (\frac{3}{x - 1} + 2 + 1)}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1} + 2 - 2)}$

Passaggio 5.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica cancellando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Passaggio 5.2.5.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Passaggio 5.2.5.2

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Passaggio 5.2.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Passaggio 5.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Riordina $x - 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + 2 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (x - 1)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Passaggio 5.2.6.2

Somma $2 \cdot (x - 1)$ e $1 \cdot (x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + 3 \cdot (x - 1)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Passaggio 5.2.6.3

Scomponi $3$ da $3 + 3 \cdot (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.3.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 \cdot 1 + 3 \cdot (x - 1)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Passaggio 5.2.6.3.2

Scomponi $3$ da $3 \cdot 1 + 3 \cdot (x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 (1 + x - 1)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Passaggio 5.2.6.4

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 (x + 0)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Passaggio 5.2.6.5

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Passaggio 5.2.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + x \cdot 2 - 1 \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Passaggio 5.2.7.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 \cdot x - 1 \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Passaggio 5.2.7.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 \cdot x - 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Passaggio 5.2.7.4

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 x - 2 + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2}$

Passaggio 5.2.7.5

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 x - 2 - 2 \cdot x - 1 \cdot - 2}$

Passaggio 5.2.7.6

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 x - 2 - 2 \cdot x + 2}$

Passaggio 5.2.7.7

Sottrai $2$ da $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{2 x + 1 - 2 x + 2}$

Passaggio 5.2.7.8

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{0 + 1 + 2}$

Passaggio 5.2.7.9

Somma $0$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{1 + 2}$

Passaggio 5.2.7.10

Somma $1$ e $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3}$

Passaggio 5.2.8

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3}$

Passaggio 5.2.8.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{x + 1}{x - 2})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{(\frac{x + 1}{x - 2}) - 1} + 2$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1}{x - 2} - 1 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}} + 2$

Passaggio 5.3.3.1.2

$- 1$ e $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1}{x - 2} + \frac{- (x - 2)}{x - 2}} + 2$

Passaggio 5.3.3.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1 - (x - 2)}{x - 2}} + 2$

Passaggio 5.3.3.1.4

Riscrivi $\frac{x + 1 - (x - 2)}{x - 2}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1 - x + 2}{x - 2}} + 2$

Passaggio 5.3.3.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1 - x + 2}{x - 2}} + 2$

Passaggio 5.3.3.1.4.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{0 + 1 + 2}{x - 2}} + 2$

Passaggio 5.3.3.1.4.4

Somma $0$ e $1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{1 + 2}{x - 2}} + 2$

Passaggio 5.3.3.1.4.5

Somma $1$ e $2$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{3}{x - 2}} + 2$

Passaggio 5.3.3.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = 3 (\frac{x - 2}{3}) + 2$

Passaggio 5.3.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = 3 (\frac{x - 2}{3}) + 2$

Passaggio 5.3.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = x - 2 + 2$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $x - 2 + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = x + 0$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{3}{x - 1} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$