Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ come un'equazione.

$y = \frac{3 x + 1}{x - 2}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{3 y + 1}{y - 2}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica l'equazione per $y - 2$ .

$(y - 2) (x) = (\frac{3 y + 1}{y - 2}) (y - 2)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y x - 2 x = (\frac{3 y + 1}{y - 2}) (y - 2)$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $y - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y x - 2 x = \frac{3 y + 1}{y - 2} (y - 2)$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y x - 2 x = 3 y + 1$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $3 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y x - 2 x - 3 y = 1$

Passaggio 3.4.2

Somma $2 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y x - 3 y = 1 + 2 x$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $y$ da $y x - 3 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $y$ da $y x$ .

$y (x) - 3 y = 1 + 2 x$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $y$ da $- 3 y$ .

$y (x) + y \cdot - 3 = 1 + 2 x$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $y$ da $y (x) + y \cdot - 3$ .

$y (x - 3) = 1 + 2 x$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $x - 3$ ciascun termine in $y (x - 3) = 1 + 2 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $x - 3$ ciascun termine in $y (x - 3) = 1 + 2 x$ .

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{1}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x - 3)}{x - 3} = \frac{1}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{1}{x - 3} + \frac{2 x}{x - 3}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{1 + 2 x}{x - 3}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{x - 3}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{x - 3}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{1 + 2 (\frac{3 x + 1}{x - 2})}{(\frac{3 x + 1}{x - 2}) - 3}$

Passaggio 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $\frac{1 + 2 \frac{3 x + 1}{x - 2}}{\frac{3 x + 1}{x - 2} - 3}$ per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{1 + 2 (\frac{3 x + 1}{x - 2})}{\frac{3 x + 1}{x - 2} - 3}$

Passaggio 5.2.3.2

Combina.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (1 + 2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{3 x + 1}{x - 2} - 3)}$

Passaggio 5.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 1 + (x - 2) (2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{3 x + 1}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 3}$

Passaggio 5.2.5

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 1 + (x - 2) (2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{3 x + 1}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 3}$

Passaggio 5.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 1 + (x - 2) (2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Passaggio 5.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Scomponi $x - 2$ da $(x - 2) \cdot 1 + (x - 2) \cdot 2 \frac{3 x + 1}{x - 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1.1

Scomponi $x - 2$ da $(x - 2) \cdot 1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (1) + (x - 2) (2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Passaggio 5.2.6.1.2

Scomponi $x - 2$ da $(x - 2) (1) + (x - 2) (2 \frac{3 x + 1}{x - 2})$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (1 + 2 (\frac{3 x + 1}{x - 2}))}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Passaggio 5.2.6.2

$2$ e $\frac{3 x + 1}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (1 + \frac{2 (3 x + 1)}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Passaggio 5.2.6.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x - 2}{x - 2} + \frac{2 (3 x + 1)}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Passaggio 5.2.6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x - 2 + 2 (3 x + 1)}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Passaggio 5.2.6.5

Riordina i termini.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 (3 x + 1) - 2}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Passaggio 5.2.6.6

Riscrivi $\frac{x + 2 (3 x + 1) - 2}{x - 2}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 2 (3 x) + 2 \cdot 1 - 2}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Passaggio 5.2.6.6.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 6 x + 2 \cdot 1 - 2}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Passaggio 5.2.6.6.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{x + 6 x + 2 - 2}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Passaggio 5.2.6.6.4

Somma $x$ e $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x + 2 - 2}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Passaggio 5.2.6.6.5

Sottrai $2$ da $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x + 0}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Passaggio 5.2.6.6.6

Somma $7 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{3 x + 1 + (x - 2) \cdot - 3}$

Passaggio 5.2.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{3 x + 1 + x \cdot - 3 - 2 \cdot - 3}$

Passaggio 5.2.7.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{3 x + 1 - 3 \cdot x - 2 \cdot - 3}$

Passaggio 5.2.7.3

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{3 x + 1 - 3 \cdot x + 6}$

Passaggio 5.2.7.4

Sottrai $3 x$ da $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{0 + 1 + 6}$

Passaggio 5.2.7.5

Somma $0$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{1 + 6}$

Passaggio 5.2.7.6

Somma $1$ e $6$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{7 x}{x - 2})}{7}$

Passaggio 5.2.8

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1

Scomponi $\frac{7 x}{x - 2}$ da $\frac{(x - 2) \frac{7 x}{x - 2}}{7}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{7 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{7}$

Passaggio 5.2.8.2

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.2.1

Scomponi $7$ da $7 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{7 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{7}$

Passaggio 5.2.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{7 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{7}$

Passaggio 5.2.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Passaggio 5.2.8.3

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.3.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Passaggio 5.2.8.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{3 x + 1}{x - 2}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{1 + 2 x}{x - 3})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + 1}{(\frac{1 + 2 x}{x - 3}) - 2}$

Passaggio 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $\frac{3 \frac{1 + 2 x}{x - 3} + 1}{\frac{1 + 2 x}{x - 3} - 2}$ per $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{x - 3}{x - 3} \cdot \frac{3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + 1}{\frac{1 + 2 x}{x - 3} - 2}$

Passaggio 5.3.3.2

Combina.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + 1)}{(x - 3) (\frac{1 + 2 x}{x - 3} - 2)}$

Passaggio 5.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3})) + (x - 3) \cdot 1}{(x - 3) (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.5

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3})) + (x - 3) \cdot 1}{(x - 3) (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3})) + (x - 3) \cdot 1}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Scomponi $x - 3$ da $(x - 3) \cdot 3 \frac{1 + 2 x}{x - 3} + (x - 3) \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1.1

Scomponi $x - 3$ da $(x - 3) \cdot 3 \frac{1 + 2 x}{x - 3}$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3})) + (x - 3) \cdot 1}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.6.1.2

Scomponi $x - 3$ da $(x - 3) \cdot 1$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3})) + (x - 3) (1)}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.6.1.3

Scomponi $x - 3$ da $(x - 3) (3 \frac{1 + 2 x}{x - 3}) + (x - 3) (1)$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (3 (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) + 1)}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.6.2

$3$ e $\frac{1 + 2 x}{x - 3}$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 (1 + 2 x)}{x - 3} + 1)}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.6.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 (1 + 2 x)}{x - 3} + \frac{x - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{3 (1 + 2 x) + x - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.6.5

Riordina i termini.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{x + 3 (1 + 2 x) - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.6.6

Riscrivi $\frac{x + 3 (1 + 2 x) - 3}{x - 3}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{x + 3 \cdot 1 + 3 (2 x) - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.6.6.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{x + 3 + 3 (2 x) - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.6.6.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{x + 3 + 6 x - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.6.6.4

Somma $x$ e $6 x$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x + 3 - 3}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.6.6.5

Sottrai $3$ da $3$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x + 0}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.6.6.6

Somma $7 x$ e $0$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{1 + 2 x + (x - 3) \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{1 + 2 x + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.7.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{1 + 2 x - 2 \cdot x - 3 \cdot - 2}$

Passaggio 5.3.7.3

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{1 + 2 x - 2 \cdot x + 6}$

Passaggio 5.3.7.4

Somma $1$ e $6$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{2 x - 2 x + 7}$

Passaggio 5.3.7.5

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{0 + 7}$

Passaggio 5.3.7.6

Somma $0$ e $7$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{7 x}{x - 3})}{7}$

Passaggio 5.3.8

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Scomponi $\frac{7 x}{x - 3}$ da $\frac{(x - 3) \frac{7 x}{x - 3}}{7}$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{7 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{7}$

Passaggio 5.3.8.2

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.2.1

Scomponi $7$ da $7 x$ .

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{7 (x)}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{7}$

Passaggio 5.3.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{7 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{7}$

Passaggio 5.3.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Passaggio 5.3.8.3

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Passaggio 5.3.8.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1 + 2 x}{x - 3}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{x - 3}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{3 x + 1}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1 + 2 x}{x - 3}$