Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x}{x - 6}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{2 x}{x - 6}$ come un'equazione.

$y = \frac{2 x}{x - 6}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{2 y}{y - 6}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica l'equazione per $y - 6$ .

$(y - 6) (x) = (\frac{2 y}{y - 6}) (y - 6)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y x - 6 x = (\frac{2 y}{y - 6}) (y - 6)$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $y - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y x - 6 x = \frac{2 y}{y - 6} (y - 6)$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y x - 6 x = 2 y$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y x - 6 x - 2 y = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $6 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y x - 2 y = 6 x$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $y$ da $y x - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $y$ da $y x$ .

$y (x) - 2 y = 6 x$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $y$ da $- 2 y$ .

$y (x) + y \cdot - 2 = 6 x$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $y$ da $y (x) + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = 6 x$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $x - 2$ ciascun termine in $y (x - 2) = 6 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $x - 2$ ciascun termine in $y (x - 2) = 6 x$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{6 x}{x - 2}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{6 x}{x - 2}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{6 x}{x - 2}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{x - 2}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{x - 2}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{2 x}{x - 6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{6 (\frac{2 x}{x - 6})}{(\frac{2 x}{x - 6}) - 2}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $6$ e $(\frac{2 x}{x - 6}) - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $6 (\frac{2 x}{x - 6})$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{2 (3 (\frac{2 x}{x - 6}))}{(\frac{2 x}{x - 6}) - 2}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $\frac{2 x}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{2 (3 (\frac{2 x}{x - 6}))}{2 (\frac{x}{x - 6}) - 2}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{2 (3 (\frac{2 x}{x - 6}))}{2 (\frac{x}{x - 6}) + 2 (- 1)}$

Passaggio 5.2.3.1.2.3

Scomponi $2$ da $2 \frac{x}{x - 6} + 2 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{2 (3 (\frac{2 x}{x - 6}))}{2 (\frac{x}{x - 6} - 1)}$

Passaggio 5.2.3.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{2 (3 (\frac{2 x}{x - 6}))}{2 (\frac{x}{x - 6} - 1)}$

Passaggio 5.2.3.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{3 (\frac{2 x}{x - 6})}{\frac{x}{x - 6} - 1}$

Passaggio 5.2.3.2

$3$ e $\frac{2 x}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x}{x - 6} - 1}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x}{x - 6} - 1 \cdot \frac{x - 6}{x - 6}}$

Passaggio 5.2.4.2

$- 1$ e $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x}{x - 6} + \frac{- (x - 6)}{x - 6}}$

Passaggio 5.2.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x - (x - 6)}{x - 6}}$

Passaggio 5.2.4.4

Riscrivi $\frac{x - (x - 6)}{x - 6}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x - x + 6}{x - 6}}$

Passaggio 5.2.4.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{x - x + 6}{x - 6}}$

Passaggio 5.2.4.4.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{0 + 6}{x - 6}}$

Passaggio 5.2.4.4.4

Somma $0$ e $6$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 6}}{\frac{6}{x - 6}}$

Passaggio 5.2.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{\frac{6 x}{x - 6}}{\frac{6}{x - 6}}$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{6 x}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{6}$

Passaggio 5.2.7

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Scomponi $6$ da $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{6 (x)}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{6}$

Passaggio 5.2.7.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{6 x}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{6}$

Passaggio 5.2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{x}{x - 6} \cdot (x - 6)$

Passaggio 5.2.8

Elimina il fattore comune di $x - 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = \frac{x}{x - 6} \cdot (x - 6)$

Passaggio 5.2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 6}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{6 x}{x - 2})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{6 x}{x - 2})}{(\frac{6 x}{x - 2}) - 6}$

Passaggio 5.3.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $2$ da $\frac{6 x}{x - 2}$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{6 x}{x - 2})}{2 (\frac{3 x}{x - 2}) - 6}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{6 x}{x - 2})}{2 (\frac{3 x}{x - 2}) + 2 \cdot - 3}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $2$ da $2 \frac{3 x}{x - 2} + 2 (- 3)$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{6 x}{x - 2})}{2 (\frac{3 x}{x - 2} - 3)}$

Passaggio 5.3.3.4

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{6 x}{x - 2})}{2 (\frac{3 x}{x - 2} - 3)}$

Passaggio 5.3.3.5

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{\frac{6 x}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} - 3}$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 x}{x - 2} - 3}$

Passaggio 5.3.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 x}{x - 2} - 3 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.5.2

$- 3$ e $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 x}{x - 2} + \frac{- 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 x - 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.5.4

Riscrivi $\frac{3 x - 3 (x - 2)}{x - 2}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.4.1

Scomponi $3$ da $3 x - 3 (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.4.1.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x) - 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.5.4.1.2

Scomponi $3$ da $- 3 (x - 2)$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x) + 3 (- (x - 2))}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.5.4.1.3

Scomponi $3$ da $3 (x) + 3 (- (x - 2))$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x - (x - 2))}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.5.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.5.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.5.4.4

Sottrai $x$ da $x$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 (0 + 2)}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.5.4.5

Somma $0$ e $2$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{3 \cdot 2}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.5.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{1}{\frac{6}{x - 2}}$

Passaggio 5.3.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot (1 (\frac{x - 2}{6}))$

Passaggio 5.3.7

Moltiplica $\frac{x - 2}{6}$ per $1$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Passaggio 5.3.8

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Scomponi $6$ da $6 x$ .

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Passaggio 5.3.8.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Passaggio 5.3.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Passaggio 5.3.9

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Passaggio 5.3.9.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{6 x}{x - 2}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{x - 2}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{2 x}{x - 6}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{6 x}{x - 2}$