Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ come un'equazione.

$y = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica l'equazione per $y^{2} + y - 2$ .

$(y^{2} + y - 2) (x) = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} x + y x - 2 x = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica $(\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 y + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

Passaggio 3.3.1.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

Passaggio 3.3.1.1.3

Riscrivi il polinomio.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

Passaggio 3.3.1.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = y$ e $b = 1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

Passaggio 3.3.1.2

Scomponi $y^{2} + y - 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $1$ .

$- 1, 2$

Passaggio 3.3.1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)} (y^{2} + y - 2)$

Passaggio 3.3.1.3

Moltiplica $\frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)}$ per $y^{2} + y - 2$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y^{2} + y - 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

Passaggio 3.3.1.4

Scomponi $y^{2} + y - 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $1$ .

$- 1, 2$

Passaggio 3.3.1.4.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} ((y - 1) (y + 2))}{(y - 1) (y + 2)}$

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

Passaggio 3.3.1.5

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

Passaggio 3.3.1.5.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

Passaggio 3.3.1.5.2

Elimina il fattore comune di $y + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

Passaggio 3.3.1.5.2.2

Dividi ${(y + 1)}^{2}$ per $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = {(y + 1)}^{2}$

Passaggio 3.3.1.5.3

Riscrivi ${(y + 1)}^{2}$ come $(y + 1) (y + 1)$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = (y + 1) (y + 1)$

Passaggio 3.3.1.6

Espandi $(y + 1) (y + 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} x + y x - 2 x = y (y + 1) + 1 (y + 1)$

Passaggio 3.3.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 (y + 1)$

Passaggio 3.3.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

Passaggio 3.3.1.7

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.7.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

Passaggio 3.3.1.7.1.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + 1 y + 1 \cdot 1$

Passaggio 3.3.1.7.1.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1 \cdot 1$

Passaggio 3.3.1.7.1.4

Moltiplica $1$ per $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1$

Passaggio 3.3.1.7.2

Somma $y$ e $y$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + 2 y + 1$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} = 2 y + 1$

Passaggio 3.4.1.2

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y = 1$

Passaggio 3.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y - 1 = 0$

Passaggio 3.4.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.4.4

Sostituisci i valori $a = x - 1$ , $b = x - 2$ e $c = - 2 x - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- (x - 2) \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot ((x - 1) \cdot (- 2 x - 1))}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.3

Riscrivi ${(x - 2)}^{2}$ come $(x - 2) (x - 2)$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.4

Espandi $(x - 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.5.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.5.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.5.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.5.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.6

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.7

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.8

Espandi $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.9

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.9.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.9.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.9.1.2.1

Sposta $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.9.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.9.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.9.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.9.1.5

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.9.1.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.9.2

Sottrai $8 x$ da $4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.10

Somma $x^{2}$ e $8 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.11

Sottrai $4 x$ da $- 4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.12

Sottrai $4$ da $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.13

Somma $9 x^{2} - 8 x$ e $0$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.14

Scomponi $x$ da $9 x^{2} - 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.5.14.1

Scomponi $x$ da $9 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.14.2

Scomponi $x$ da $- 8 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.5.14.3

Scomponi $x$ da $x (9 x) + x \cdot - 8$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{- x + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.6.2

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$y = \frac{- (x) + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.6.3

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.6.4

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x - 2) + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.6.5

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{x (9 x - 8)}$ .

$y = \frac{- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.6.6

Scomponi $- 1$ da $- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.6.7

Riscrivi $- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ come $- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.6.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.3

Riscrivi ${(x - 2)}^{2}$ come $(x - 2) (x - 2)$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.4

Espandi $(x - 2) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.5

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1.5.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.5.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.5.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.5.2

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.7

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.8

Espandi $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.9

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1.9.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.9.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1.9.1.2.1

Sposta $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.9.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.9.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.9.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.9.1.5

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.9.1.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.9.2

Sottrai $8 x$ da $4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.10

Somma $x^{2}$ e $8 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.11

Sottrai $4 x$ da $- 4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.12

Sottrai $4$ da $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.13

Somma $9 x^{2} - 8 x$ e $0$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.14

Scomponi $x$ da $9 x^{2} - 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1.14.1

Scomponi $x$ da $9 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.14.2

Scomponi $x$ da $- 8 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.1.14.3

Scomponi $x$ da $x (9 x) + x \cdot - 8$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.2

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{- x + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.3

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$y = \frac{- (x) + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.4

Riscrivi $2$ come $- 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.5

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x - 2) - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.6

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{x (9 x - 8)}$ .

$y = \frac{- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.7

Scomponi $- 1$ da $- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.8

Riscrivi $- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ come $- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.7.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 3.4.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ e $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, \infty)$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $- \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{x (9 x - 8)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x (9 x - 8) \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$9 x - 8 = 0$

Passaggio 5.3.2.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.3.2.3

Imposta $9 x - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Imposta $9 x - 8$ uguale a $0$ .

$9 x - 8 = 0$

Passaggio 5.3.2.3.2

Risolvi $9 x - 8 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.2.1

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 x = 8$

Passaggio 5.3.2.3.2.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x = 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.2.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x = 8$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Passaggio 5.3.2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Passaggio 5.3.2.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{8}{9}$

Passaggio 5.3.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (9 x - 8) \geq 0$ vera.

$x = 0, \frac{8}{9}$

Passaggio 5.3.2.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < \frac{8}{9}$

$x > \frac{8}{9}$

Passaggio 5.3.2.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 5.3.2.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$(- 2) (9 (- 2) - 8) \geq 0$

Passaggio 5.3.2.6.1.3

Il lato sinistro di $52$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 5.3.2.6.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{8}{9}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{8}{9}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.44$

Passaggio 5.3.2.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0.44$ nella diseguaglianza originale.

$(0.44) (9 (0.44) - 8) \geq 0$

Passaggio 5.3.2.6.2.3

Il lato sinistro di $- 1.7776$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 5.3.2.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > \frac{8}{9}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > \frac{8}{9}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 5.3.2.6.3.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$(3) (9 (3) - 8) \geq 0$

Passaggio 5.3.2.6.3.3

Il lato sinistro di $57$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 5.3.2.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Vero

$0 < x < \frac{8}{9}$ Falso

$x > \frac{8}{9}$ Vero

$x < 0$ Vero

$0 < x < \frac{8}{9}$ Falso

$x > \frac{8}{9}$ Vero

Passaggio 5.3.2.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq 0$ o $x \geq \frac{8}{9}$

Passaggio 5.3.3

Imposta il denominatore in $\frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 (x - 1) = 0$

Passaggio 5.3.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x - 1) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x - 1) = 0$ .

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.3.4.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.3.4.1.2.1.2

Dividi $x - 1$ per $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{2}$

Passaggio 5.3.4.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5.3.5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 5.4

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ non è uguale all'intervallo di $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ , allora $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ non è un inverso di $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

Non c'è alcun inverso

Passaggio 6