Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x - 7}{x + 7}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{x - 7}{x + 7}$ come un'equazione.

$y = \frac{x - 7}{x + 7}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{y - 7}{y + 7}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{y - 7}{y + 7} = x$ .

$\frac{y - 7}{y + 7} = x$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y + 7, 1$

Passaggio 3.2.2

Rimuovi le parentesi.

$y + 7, 1$

Passaggio 3.2.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y + 7$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $y + 7$ ciascun termine in $\frac{y - 7}{y + 7} = x$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{y - 7}{y + 7} = x$ per $y + 7$ .

$\frac{y - 7}{y + 7} (y + 7) = x (y + 7)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $y + 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y - 7}{y + 7} (y + 7) = x (y + 7)$

Passaggio 3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y - 7 = x (y + 7)$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$y - 7 = x y + x \cdot 7$

Passaggio 3.3.3.2

Sposta $7$ alla sinistra di $x$ .

$y - 7 = x y + 7 x$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y - 7 - x y = 7 x$

Passaggio 3.4.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y - x y = 7 x + 7$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $y$ da $y - x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - x y = 7 x + 7$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $y$ da $- x y$ .

$y \cdot 1 + y (- x) = 7 x + 7$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $y$ da $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$y (1 - x) = 7 x + 7$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $1 - x$ ciascun termine in $y (1 - x) = 7 x + 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $1 - x$ ciascun termine in $y (1 - x) = 7 x + 7$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{7 x}{1 - x} + \frac{7}{1 - x}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{7 x}{1 - x} + \frac{7}{1 - x}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{7 x}{1 - x} + \frac{7}{1 - x}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{7 x + 7}{1 - x}$

Passaggio 3.4.4.3.2

Scomponi $7$ da $7 x + 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.2.1

Scomponi $7$ da $7 x$ .

$y = \frac{7 (x) + 7}{1 - x}$

Passaggio 3.4.4.3.2.2

Scomponi $7$ da $7$ .

$y = \frac{7 (x) + 7 (1)}{1 - x}$

Passaggio 3.4.4.3.2.3

Scomponi $7$ da $7 (x) + 7 (1)$ .

$y = \frac{7 (x + 1)}{1 - x}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 (x + 1)}{1 - x}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{7 (x + 1)}{1 - x}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x - 7}{x + 7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 ((\frac{x - 7}{x + 7}) + 1)}{1 - (\frac{x - 7}{x + 7})}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{x - 7}{x + 7} + \frac{x + 7}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Passaggio 5.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{x - 7 + x + 7}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Passaggio 5.2.3.3

Riordina i termini.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{x + x - 7 + 7}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Passaggio 5.2.3.4

Riscrivi $\frac{x + x - 7 + 7}{x + 7}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.4.1

Somma $x$ e $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x - 7 + 7}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Passaggio 5.2.3.4.2

Somma $- 7$ e $7$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x + 0}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Passaggio 5.2.3.4.3

Somma $2 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{x + 7}{x + 7} - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Passaggio 5.2.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{x + 7 - (x - 7)}{x + 7}}$

Passaggio 5.2.4.3

Riscrivi $\frac{x + 7 - (x - 7)}{x + 7}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{x + 7 - x + 7}{x + 7}}$

Passaggio 5.2.4.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{x + 7 - x + 7}{x + 7}}$

Passaggio 5.2.4.3.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{0 + 7 + 7}{x + 7}}$

Passaggio 5.2.4.3.4

Somma $0$ e $7$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{7 + 7}{x + 7}}$

Passaggio 5.2.4.3.5

Somma $7$ e $7$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{14}{x + 7}}$

Passaggio 5.2.5

$7$ e $\frac{2 x}{x + 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{14}{x + 7}}$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica $7$ per $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{\frac{14 x}{x + 7}}{\frac{14}{x + 7}}$

Passaggio 5.2.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{14 x}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{14}$

Passaggio 5.2.8

Elimina il fattore comune di $14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1

Scomponi $14$ da $14 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{14 (x)}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{14}$

Passaggio 5.2.8.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{14 x}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{14}$

Passaggio 5.2.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7)$

Passaggio 5.2.9

Elimina il fattore comune di $x + 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7)$

Passaggio 5.2.9.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) - 7}{(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) + 7}$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune di $(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) - 7$ e $(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) + 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $7$ da $\frac{7 (x + 1)}{1 - x}$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x}) - 7}{(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) + 7}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $7$ da $- 7$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x}) + 7 \cdot - 1}{\frac{7 (x + 1)}{1 - x} + 7}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $7$ da $7 \frac{x + 1}{1 - x} + 7 (- 1)$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) + 7}$

Passaggio 5.3.3.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.4.1

Scomponi $7$ da $\frac{7 (x + 1)}{1 - x}$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{7 (\frac{x + 1}{1 - x}) + 7}$

Passaggio 5.3.3.4.2

Scomponi $7$ da $7$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{7 (\frac{x + 1}{1 - x}) + 7 (1)}$

Passaggio 5.3.3.4.3

Scomponi $7$ da $7 \frac{x + 1}{1 - x} + 7 (1)$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{7 (\frac{x + 1}{1 - x} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.4.4

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{7 (\frac{x + 1}{1 - x} + 1)}$

Passaggio 5.3.3.4.5

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$

Passaggio 5.3.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Moltiplica $\frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$ per $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{1 - x}{1 - x} \cdot \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$

Passaggio 5.3.4.2

Combina.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x} + 1)}$

Passaggio 5.3.5

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 1}$

Passaggio 5.3.6

Semplifica cancellando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 1}$

Passaggio 5.3.6.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 1}$

Passaggio 5.3.6.2

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 1}$

Passaggio 5.3.6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Passaggio 5.3.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 + 1 \cdot - 1 - x \cdot - 1}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Passaggio 5.3.7.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 - 1 - x \cdot - 1}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Passaggio 5.3.7.3

Moltiplica $- x \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 - 1 + 1 x}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Passaggio 5.3.7.3.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 - 1 + x}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Passaggio 5.3.7.4

Somma $x$ e $x$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x + 1 - 1}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Passaggio 5.3.7.5

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x + 0}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Passaggio 5.3.7.6

Somma $2 x$ e $0$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Passaggio 5.3.8

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Moltiplica $1 - x$ per $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{x + 1 + 1 - x}$

Passaggio 5.3.8.2

Sottrai $x$ da $x$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{0 + 1 + 1}$

Passaggio 5.3.8.3

Somma $0$ e $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 + 1}$

Passaggio 5.3.8.4

Somma $1$ e $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.3.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{2}$

Passaggio 5.3.9.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{7 (x + 1)}{1 - x}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x - 7}{x + 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7 (x + 1)}{1 - x}$