Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x + 8}{x - 3}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{x + 8}{x - 3}$ come un'equazione.

$y = \frac{x + 8}{x - 3}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{y + 8}{y - 3}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica l'equazione per $y - 3$ .

$(y - 3) (x) = (\frac{y + 8}{y - 3}) (y - 3)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y x - 3 x = (\frac{y + 8}{y - 3}) (y - 3)$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $y - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y x - 3 x = \frac{y + 8}{y - 3} (y - 3)$

Passaggio 3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y x - 3 x = y + 8$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y x - 3 x - y = 8$

Passaggio 3.4.2

Somma $3 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y x - y = 8 + 3 x$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $y$ da $y x - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $y$ da $y x$ .

$y (x) - y = 8 + 3 x$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $y$ da $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 8 + 3 x$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $y$ da $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 8 + 3 x$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $x - 1$ ciascun termine in $y (x - 1) = 8 + 3 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $x - 1$ ciascun termine in $y (x - 1) = 8 + 3 x$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{8}{x - 1} + \frac{3 x}{x - 1}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{8}{x - 1} + \frac{3 x}{x - 1}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{8}{x - 1} + \frac{3 x}{x - 1}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{8 + 3 x}{x - 1}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{8 + 3 x}{x - 1}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{8 + 3 x}{x - 1}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x + 8}{x - 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{8 + 3 (\frac{x + 8}{x - 3})}{(\frac{x + 8}{x - 3}) - 1}$

Passaggio 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica $\frac{8 + 3 \frac{x + 8}{x - 3}}{\frac{x + 8}{x - 3} - 1}$ per $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{x - 3}{x - 3} \cdot \frac{8 + 3 (\frac{x + 8}{x - 3})}{\frac{x + 8}{x - 3} - 1}$

Passaggio 5.2.3.2

Combina.

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (8 + 3 (\frac{x + 8}{x - 3}))}{(x - 3) (\frac{x + 8}{x - 3} - 1)}$

Passaggio 5.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) \cdot 8 + (x - 3) (3 (\frac{x + 8}{x - 3}))}{(x - 3) (\frac{x + 8}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.5

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) \cdot 8 + (x - 3) (3 (\frac{x + 8}{x - 3}))}{(x - 3) (\frac{x + 8}{x - 3}) + (x - 3) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) \cdot 8 + (x - 3) (3 (\frac{x + 8}{x - 3}))}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Scomponi $x - 3$ da $(x - 3) \cdot 8 + (x - 3) \cdot 3 \frac{x + 8}{x - 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1.1

Scomponi $x - 3$ da $(x - 3) \cdot 8$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (8) + (x - 3) (3 (\frac{x + 8}{x - 3}))}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6.1.2

Scomponi $x - 3$ da $(x - 3) (8) + (x - 3) (3 \frac{x + 8}{x - 3})$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (8 + 3 (\frac{x + 8}{x - 3}))}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6.2

$3$ e $\frac{x + 8}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (8 + \frac{3 (x + 8)}{x - 3})}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6.3

Per scrivere $8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{8 (x - 3)}{x - 3} + \frac{3 (x + 8)}{x - 3})}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{8 (x - 3) + 3 (x + 8)}{x - 3})}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6.5

Riscrivi $\frac{8 (x - 3) + 3 (x + 8)}{x - 3}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{8 x + 8 \cdot - 3 + 3 (x + 8)}{x - 3})}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6.5.2

Moltiplica $8$ per $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{8 x - 24 + 3 (x + 8)}{x - 3})}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{8 x - 24 + 3 x + 3 \cdot 8}{x - 3})}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6.5.4

Moltiplica $3$ per $8$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{8 x - 24 + 3 x + 24}{x - 3})}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6.5.5

Somma $8 x$ e $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{11 x - 24 + 24}{x - 3})}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6.5.6

Somma $- 24$ e $24$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{11 x + 0}{x - 3})}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.6.5.7

Somma $11 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{11 x}{x - 3})}{x + 8 + (x - 3) \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{11 x}{x - 3})}{x + 8 + x \cdot - 1 - 3 \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.7.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{11 x}{x - 3})}{x + 8 - 1 \cdot x - 3 \cdot - 1}$

Passaggio 5.2.7.3

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{11 x}{x - 3})}{x + 8 - 1 \cdot x + 3}$

Passaggio 5.2.7.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{11 x}{x - 3})}{x + 8 - x + 3}$

Passaggio 5.2.7.5

Sottrai $x$ da $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{11 x}{x - 3})}{0 + 8 + 3}$

Passaggio 5.2.7.6

Somma $0$ e $8$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{11 x}{x - 3})}{8 + 3}$

Passaggio 5.2.7.7

Somma $8$ e $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{(x - 3) (\frac{11 x}{x - 3})}{11}$

Passaggio 5.2.8

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1

Scomponi $\frac{11 x}{x - 3}$ da $\frac{(x - 3) \frac{11 x}{x - 3}}{11}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{11 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{11}$

Passaggio 5.2.8.2

Elimina il fattore comune di $11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.2.1

Scomponi $11$ da $11 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{11 (x)}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{11}$

Passaggio 5.2.8.2.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{11 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{11}$

Passaggio 5.2.8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Passaggio 5.2.8.3

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.3.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Passaggio 5.2.8.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{x + 8}{x - 3}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{8 + 3 x}{x - 1})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(\frac{8 + 3 x}{x - 1}) + 8}{(\frac{8 + 3 x}{x - 1}) - 3}$

Passaggio 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $\frac{\frac{8 + 3 x}{x - 1} + 8}{\frac{8 + 3 x}{x - 1} - 3}$ per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{8 + 3 x}{x - 1} + 8}{\frac{8 + 3 x}{x - 1} - 3}$

Passaggio 5.3.3.2

Combina.

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{8 + 3 x}{x - 1} + 8)}{(x - 1) (\frac{8 + 3 x}{x - 1} - 3)}$

Passaggio 5.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 8}{(x - 1) (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Passaggio 5.3.5

Semplifica cancellando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 8}{(x - 1) (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Passaggio 5.3.5.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{8 + 3 x + (x - 1) \cdot 8}{(x - 1) (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Passaggio 5.3.5.2

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{8 + 3 x + (x - 1) \cdot 8}{(x - 1) (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 3}$

Passaggio 5.3.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{8 + 3 x + (x - 1) \cdot 8}{8 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Passaggio 5.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{8 + 3 x + x \cdot 8 - 1 \cdot 8}{8 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Passaggio 5.3.6.2

Sposta $8$ alla sinistra di $x$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{8 + 3 x + 8 \cdot x - 1 \cdot 8}{8 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Passaggio 5.3.6.3

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{8 + 3 x + 8 \cdot x - 8}{8 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Passaggio 5.3.6.4

Sottrai $8$ da $8$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{3 x + 8 x + 0}{8 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Passaggio 5.3.6.5

Somma $3 x + 8 x$ e $0$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{3 x + 8 x}{8 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Passaggio 5.3.6.6

Somma $3 x$ e $8 x$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{8 + 3 x + (x - 1) \cdot - 3}$

Passaggio 5.3.7

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{8 + 3 x + x \cdot - 3 - 1 \cdot - 3}$

Passaggio 5.3.7.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{8 + 3 x - 3 \cdot x - 1 \cdot - 3}$

Passaggio 5.3.7.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{8 + 3 x - 3 \cdot x + 3}$

Passaggio 5.3.7.4

Somma $8$ e $3$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{3 x - 3 x + 11}$

Passaggio 5.3.7.5

Sottrai $3 x$ da $3 x$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{0 + 11}$

Passaggio 5.3.7.6

Somma $0$ e $11$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{11}$

Passaggio 5.3.8

Elimina il fattore comune di $11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = \frac{11 x}{11}$

Passaggio 5.3.8.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f (\frac{8 + 3 x}{x - 1}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{8 + 3 x}{x - 1}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{x + 8}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{8 + 3 x}{x - 1}$