Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{2} - 6 x - 9$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = x^{2} - 6 x - 9$ come un'equazione.

$y = x^{2} - 6 x - 9$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = y^{2} - 6 y - 9$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $y^{2} - 6 y - 9 = x$ .

$y^{2} - 6 y - 9 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} - 6 y - 9 - x = 0$

Passaggio 3.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 6$ e $c = - 9 - x$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 9 - x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 9 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.4

Moltiplica $- 4$ per $- 9$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 36 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 36 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.6

Somma $36$ e $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{72 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.7

Scomponi $4$ da $72 + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.7.1

Scomponi $4$ da $72$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 18 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.7.2

Scomponi $4$ da $4 \cdot 18 + 4 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (18 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.8

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (18 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{18 + x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{18 + x}}{2}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{18 + x}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{18 + x}$

Passaggio 3.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 9 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.4

Moltiplica $- 4$ per $- 9$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 36 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 36 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.6

Somma $36$ e $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{72 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.7

Scomponi $4$ da $72 + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1.7.1

Scomponi $4$ da $72$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 18 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.7.2

Scomponi $4$ da $4 \cdot 18 + 4 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (18 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.8

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (18 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{18 + x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{18 + x}}{2}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{18 + x}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{18 + x}$

Passaggio 3.6.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = 3 + \sqrt{18 + x}$

Passaggio 3.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot (- 9 - x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 9 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.4

Moltiplica $- 4$ per $- 9$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 36 - 4 (- x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 36 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.6

Somma $36$ e $36$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{72 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.7

Scomponi $4$ da $72 + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.1.7.1

Scomponi $4$ da $72$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 18 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.7.2

Scomponi $4$ da $4 \cdot 18 + 4 x$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{4 (18 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.8

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$y = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} (18 + x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.1.9

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{18 + x}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{6 \pm 2 \sqrt{18 + x}}{2}$

Passaggio 3.7.3

Semplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{18 + x}}{2}$ .

$y = 3 \pm \sqrt{18 + x}$

Passaggio 3.7.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = 3 - \sqrt{18 + x}$

Passaggio 3.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = 3 + \sqrt{18 + x}$

$y = 3 - \sqrt{18 + x}$

$y = 3 + \sqrt{18 + x}$

$y = 3 - \sqrt{18 + x}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{18 + x}, 3 - \sqrt{18 + x}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{18 + x}, 3 - \sqrt{18 + x}$ è l'inverso di $f (x) = x^{2} - 6 x - 9$ .

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Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = x^{2} - 6 x - 9$ e $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{18 + x}, 3 - \sqrt{18 + x}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = x^{2} - 6 x - 9$ .

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Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- 18, \infty)$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $3 + \sqrt{18 + x}$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{18 + x}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$18 + x \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $18$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq - 18$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[- 18, \infty)$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (x) = x^{2} - 6 x - 9$ .

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Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{18 + x}, 3 - \sqrt{18 + x}$ è l'intervallo di $f (x) = x^{2} - 6 x - 9$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{18 + x}, 3 - \sqrt{18 + x}$ è il dominio di $f (x) = x^{2} - 6 x - 9$ , allora $f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{18 + x}, 3 - \sqrt{18 + x}$ è l'inverso di $f (x) = x^{2} - 6 x - 9$ .

$f^{- 1} (x) = 3 + \sqrt{18 + x}, 3 - \sqrt{18 + x}$

Passaggio 6