Precalcolo Esempi

$f (x) = e^{x + 9}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = e^{x + 9}$ come un'equazione.

$y = e^{x + 9}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = e^{y + 9}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $e^{y + 9} = x$ .

$e^{y + 9} = x$

Passaggio 3.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y + 9}) = \ln (x)$

Passaggio 3.3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.1

Espandi $\ln (e^{y + 9})$ spostando $y + 9$ fuori dal logaritmo.

$(y + 9) \ln (e) = \ln (x)$

Passaggio 3.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(y + 9) \cdot 1 = \ln (x)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $y + 9$ per $1$ .

$y + 9 = \ln (x)$

Passaggio 3.4

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \ln (x) - 9$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \ln (x) - 9$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \ln (x) - 9$ è l'inverso di $f (x) = e^{x + 9}$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (e^{x + 9})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x + 9}) = \ln (e^{x + 9}) - 9$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.3.1

Usa le regole del logaritmo per togliere $x + 9$ dall'esponente.

$f^{- 1} (e^{x + 9}) = (x + 9) \ln (e) - 9$

Passaggio 5.2.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (e^{x + 9}) = (x + 9) \cdot 1 - 9$

Passaggio 5.2.3.3

Moltiplica $x + 9$ per $1$ .

$f^{- 1} (e^{x + 9}) = x + 9 - 9$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $x + 9 - 9$ .

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Passaggio 5.2.4.1

Sottrai $9$ da $9$ .

$f^{- 1} (e^{x + 9}) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (e^{x + 9}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\ln (x) - 9)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (x) - 9) = e^{(\ln (x) - 9) + 9}$

Passaggio 5.3.3

Combina i termini opposti in $(\ln (x) - 9) + 9$ .

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Passaggio 5.3.3.1

Somma $- 9$ e $9$ .

$f (\ln (x) - 9) = e^{\ln (x) + 0}$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $\ln (x)$ e $0$ .

$f (\ln (x) - 9) = e^{\ln (x)}$

Passaggio 5.3.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (x) - 9) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \ln (x) - 9$ è l'inverso di $f (x) = e^{x + 9}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x) - 9$