Precalcolo Esempi

$f (x) = e^{3 x - 5} - 2$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ come un'equazione.

$y = e^{3 x - 5} - 2$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = e^{3 y - 5} - 2$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $e^{3 y - 5} - 2 = x$ .

$e^{3 y - 5} - 2 = x$

Passaggio 3.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$e^{3 y - 5} = x + 2$

Passaggio 3.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{3 y - 5}) = \ln (x + 2)$

Passaggio 3.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Espandi $\ln (e^{3 y - 5})$ spostando $3 y - 5$ fuori dal logaritmo.

$(3 y - 5) \ln (e) = \ln (x + 2)$

Passaggio 3.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(3 y - 5) \cdot 1 = \ln (x + 2)$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $3 y - 5$ per $1$ .

$3 y - 5 = \ln (x + 2)$

Passaggio 3.5

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 y = \ln (x + 2) + 5$

Passaggio 3.6

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = \ln (x + 2) + 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = \ln (x + 2) + 5$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Passaggio 3.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Passaggio 3.6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ è l'inverso di $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Combina i termini opposti in $\frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5} + 0)}{3} + \frac{5}{3}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Somma $e^{3 x - 5}$ e $0$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5})}{3} + \frac{5}{3}$

Passaggio 5.2.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5}) + 5}{3}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Utilizza le regole del logaritmo per togliere $3 x - 5$ dall'esponente.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \ln (e) + 5}{3}$

Passaggio 5.2.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \cdot 1 + 5}{3}$

Passaggio 5.2.4.3

Moltiplica $3 x - 5$ per $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x - 5 + 5}{3}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Combina i termini opposti in $3 x - 5 + 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.1

Somma $- 5$ e $5$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x + 0}{3}$

Passaggio 5.2.5.1.2

Somma $3 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Passaggio 5.2.5.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Passaggio 5.2.5.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1.1

Riscrivi $\frac{\ln (x + 2)}{3}$ come $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{1}{3} \cdot \ln (x + 2) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Passaggio 5.3.3.1.1.2

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Passaggio 5.3.3.1.2

Per scrivere $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Passaggio 5.3.3.1.3

$\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Passaggio 5.3.3.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3 + 5}{3}) - 5} - 2$

Passaggio 5.3.3.1.5

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.5.1.1

Moltiplica $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.5.1.1.1

Riordina $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ e $3$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Passaggio 5.3.3.1.5.1.1.2

Semplifica $3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Passaggio 5.3.3.1.5.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.5.1.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Passaggio 5.3.3.1.5.1.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.5.1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Passaggio 5.3.3.1.5.1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{1}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Passaggio 5.3.3.1.5.1.3

Semplifica.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

Passaggio 5.3.3.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

Passaggio 5.3.3.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 5 - 5} - 2$

Passaggio 5.3.3.2

Combina i termini opposti in $\ln (x + 2) + 5 - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Sottrai $5$ da $5$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 0} - 2$

Passaggio 5.3.3.2.2

Somma $\ln (x + 2)$ e $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2)} - 2$

Passaggio 5.3.3.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 2 - 2$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $x + 2 - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 0$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ è l'inverso di $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$