Precalcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{4 x - 4}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \sqrt{4 x - 4}$ come un'equazione.

$y = \sqrt{4 x - 4}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \sqrt{4 y - 4}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{4 y - 4} = x$ .

$\sqrt{4 y - 4} = x$

Passaggio 3.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{4 y - 4}}^{2} = x^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 y - 4}$ come ${(4 y - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ${({(4 y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(4 y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(4 y - 4)}^{1} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica.

$4 y - 4 = x^{2}$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 y = x^{2} + 4$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = x^{2} + 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = x^{2} + 4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4}{4}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4}{4}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4}{4}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Dividi $4$ per $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 1$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + 1$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + 1$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{4 x - 4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{(\sqrt{4 x - 4})}^{2}}{4} + 1$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Scomponi $4$ da $4 x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1.1

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{\sqrt{4 (x) - 4}}^{2}}{4} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.1.2

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{\sqrt{4 (x) + 4 (- 1)}}^{2}}{4} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.1.3

Scomponi $4$ da $4 (x) + 4 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{\sqrt{4 (x - 1)}}^{2}}{4} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{\sqrt{2^{2} (x - 1)}}^{2}}{4} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.3

Estrai i termini dal radicale.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{(2 \sqrt{x - 1})}^{2}}{4} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.4

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{2^{2} {\sqrt{x - 1}}^{2}}{4} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 {\sqrt{x - 1}}^{2}}{4} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.6

Riscrivi ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ come $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x - 1}$ come ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x - 1)}{4} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.6.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x - 1)}{4} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 x + 4 \cdot - 1}{4} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.8

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 x - 4}{4} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.9

Scomponi $4$ da $4 x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.9.1

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x) - 4}{4} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.9.2

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x) + 4 (- 1)}{4} + 1$

Passaggio 5.2.3.1.9.3

Scomponi $4$ da $4 (x) + 4 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x - 1)}{4} + 1$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x - 1)}{4} + 1$

Passaggio 5.2.3.2.2

Dividi $x - 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = x - 1 + 1$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $x - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{x^{2}}{4} + 1)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 1) - 4}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $4$ da $4 (\frac{x^{2}}{4} + 1) - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 1) + 4 (- 1)}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $4$ da $4 (\frac{x^{2}}{4} + 1) + 4 (- 1)$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 1 - 1)}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 0)}$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $\frac{x^{2}}{4}$ e $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4})}$

Passaggio 5.3.5

$4$ e $\frac{x^{2}}{4}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

Passaggio 5.3.6

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Riduci l'espressione $\frac{4 x^{2}}{4}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

Passaggio 5.3.6.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Passaggio 5.3.6.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{x^{2}}$

Passaggio 5.3.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + 1$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{4 x - 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + 1$