Precalcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{8 x + 10}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \sqrt{8 x + 10}$ come un'equazione.

$y = \sqrt{8 x + 10}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \sqrt{8 y + 10}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{8 y + 10} = x$ .

$\sqrt{8 y + 10} = x$

Passaggio 3.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{8 y + 10}}^{2} = x^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{8 y + 10}$ come ${(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ${({(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 y + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(8 y + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(8 y + 10)}^{1} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica.

$8 y + 10 = x^{2}$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 y = x^{2} - 10$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 y = x^{2} - 10$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 y = x^{2} - 10$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 10}{8}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 10}{8}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 10}{8}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 10$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 10$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 (- 5)}{8}$

Passaggio 3.4.2.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.4.2.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

Passaggio 3.4.2.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 5}{4}$

Passaggio 3.4.2.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{8 x + 10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(\sqrt{8 x + 10})}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $8 x + 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $8 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{\sqrt{2 (4 x) + 10}}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Passaggio 5.2.3.1.1.2

Scomponi $2$ da $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{\sqrt{2 (4 x) + 2 (5)}}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Passaggio 5.2.3.1.1.3

Scomponi $2$ da $2 (4 x) + 2 (5)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{\sqrt{2 (4 x + 5)}}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Riscrivi ${\sqrt{2 (4 x + 5)}}^{2}$ come $2 (4 x + 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 (4 x + 5)}$ come ${(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{({(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8} - \frac{5}{4}$

Passaggio 5.2.3.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{2}{2}}}{8} - \frac{5}{4}$

Passaggio 5.2.3.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{2}{2}}}{8} - \frac{5}{4}$

Passaggio 5.2.3.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{8} - \frac{5}{4}$

Passaggio 5.2.3.1.2.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{8} - \frac{5}{4}$

Passaggio 5.2.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x) + 2 \cdot 5}{8} - \frac{5}{4}$

Passaggio 5.2.3.1.4

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{8 x + 2 \cdot 5}{8} - \frac{5}{4}$

Passaggio 5.2.3.1.5

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{8 x + 10}{8} - \frac{5}{4}$

Passaggio 5.2.3.1.6

Scomponi $2$ da $8 x + 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.6.1

Scomponi $2$ da $8 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x) + 10}{8} - \frac{5}{4}$

Passaggio 5.2.3.1.6.2

Scomponi $2$ da $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x) + 2 (5)}{8} - \frac{5}{4}$

Passaggio 5.2.3.1.6.3

Scomponi $2$ da $2 (4 x) + 2 (5)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{8} - \frac{5}{4}$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{2 \cdot 4} - \frac{5}{4}$

Passaggio 5.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{2 \cdot 4} - \frac{5}{4}$

Passaggio 5.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x + 5}{4} - \frac{5}{4}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x + 5 - 5}{4}$

Passaggio 5.2.4.2

Combina i termini opposti in $4 x + 5 - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Sottrai $5$ da $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Somma $4 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x}{4}$

Passaggio 5.2.4.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x}{4}$

Passaggio 5.2.4.3.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{8 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) + 10}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $2$ da $8 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) + 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $2$ da $8 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})) + 10}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $2$ da $10$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})) + 2 (5)}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $2$ da $2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})) + 2 (5)$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) + 5)}$

Passaggio 5.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8}) + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

Passaggio 5.3.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{4 (2)}) + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

Passaggio 5.3.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{4 \cdot 2}) + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

Passaggio 5.3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

Passaggio 5.3.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5}{4}$ nel numeratore.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 4 (\frac{- 5}{4}) + 5)}$

Passaggio 5.3.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 4 (\frac{- 5}{4}) + 5)}$

Passaggio 5.3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 5 + 5)}$

Passaggio 5.3.7

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Somma $- 5$ e $5$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 0)}$

Passaggio 5.3.7.2

Somma $\frac{x^{2}}{2}$ e $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2})}$

Passaggio 5.3.8

$2$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

Passaggio 5.3.9

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1

Riduci l'espressione $\frac{2 x^{2}}{2}$ eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

Passaggio 5.3.9.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Passaggio 5.3.9.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{x^{2}}$

Passaggio 5.3.10

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{8 x + 10}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$