Precalcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{4 - 5 x}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \sqrt{4 - 5 x}$ come un'equazione.

$y = \sqrt{4 - 5 x}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \sqrt{4 - 5 y}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\sqrt{4 - 5 y} = x$ .

$\sqrt{4 - 5 y} = x$

Passaggio 3.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{4 - 5 y}}^{2} = x^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 - 5 y}$ come ${(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ${({(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(4 - 5 y)}^{1} = x^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Semplifica.

$4 - 5 y = x^{2}$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 5 y = x^{2} - 4$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $- 5$ ciascun termine in $- 5 y = x^{2} - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $- 5$ ciascun termine in $- 5 y = x^{2} - 4$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{x^{2}}{- 5} + \frac{- 4}{- 5}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{x^{2}}{- 5} + \frac{- 4}{- 5}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 5} + \frac{- 4}{- 5}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{- 4}{- 5}$

Passaggio 3.4.2.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{4 - 5 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = - \frac{{(\sqrt{4 - 5 x})}^{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Passaggio 5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- {(\sqrt{4 - 5 x})}^{2} + 4}{5}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Riscrivi ${\sqrt{4 - 5 x}}^{2}$ come $4 - 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 - 5 x}$ come ${(4 - 5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- {({(4 - 5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4}{5}$

Passaggio 5.2.4.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- {(4 - 5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4}{5}$

Passaggio 5.2.4.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- {(4 - 5 x)}^{\frac{2}{2}} + 4}{5}$

Passaggio 5.2.4.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- {(4 - 5 x)}^{\frac{2}{2}} + 4}{5}$

Passaggio 5.2.4.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- (4 - 5 x) + 4}{5}$

Passaggio 5.2.4.1.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- (4 - 5 x) + 4}{5}$

Passaggio 5.2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- 1 \cdot 4 - (- 5 x) + 4}{5}$

Passaggio 5.2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- 4 - (- 5 x) + 4}{5}$

Passaggio 5.2.4.4

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- 4 + 5 x + 4}{5}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Combina i termini opposti in $- 4 + 5 x + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.1

Somma $- 4$ e $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{5 x + 0}{5}$

Passaggio 5.2.5.1.2

Somma $5 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{5 x}{5}$

Passaggio 5.2.5.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{5 x}{5}$

Passaggio 5.2.5.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 - 5 (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5})}$

Passaggio 5.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 - 5 (- \frac{x^{2}}{5}) - 5 (\frac{4}{5})}$

Passaggio 5.3.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{2}}{5}$ nel numeratore.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 - 5 \frac{- x^{2}}{5} - 5 (\frac{4}{5})}$

Passaggio 5.3.4.2

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + 5 (- 1) (\frac{- x^{2}}{5}) - 5 (\frac{4}{5})}$

Passaggio 5.3.4.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + 5 \cdot (- 1 \frac{- x^{2}}{5}) - 5 (\frac{4}{5})}$

Passaggio 5.3.4.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 - 1 (- x^{2}) - 5 (\frac{4}{5})}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + 1 x^{2} - 5 (\frac{4}{5})}$

Passaggio 5.3.5.2

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + x^{2} - 5 (\frac{4}{5})}$

Passaggio 5.3.6

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + x^{2} + 5 (- 1) (\frac{4}{5})}$

Passaggio 5.3.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + x^{2} + 5 \cdot (- 1 (\frac{4}{5}))}$

Passaggio 5.3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + x^{2} - 1 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + x^{2} - 4}$

Passaggio 5.3.7.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Passaggio 5.3.7.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{x^{2}}$

Passaggio 5.3.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}$ è l'inverso di $f (x) = \sqrt{4 - 5 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}$