Precalcolo Esempi

$f (x) = 6 \log (x) - 3$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 6 \log (x) - 3$ come un'equazione.

$y = 6 \log (x) - 3$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 6 \log (y) - 3$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $6 \log (y) - 3 = x$ .

$6 \log (y) - 3 = x$

Passaggio 3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$6 \log (y) = x + 3$

Passaggio 3.3

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 \log (y) = x + 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 \log (y) = x + 3$ .

$\frac{6 \log (y)}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 \log (y)}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $\log (y)$ per $1$ .

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 (1)}{6}$

Passaggio 3.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{1}{2}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}} = y$

Passaggio 3.5

Riscrivi l'equazione come $y = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ .

$y = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ è l'inverso di $f (x) = 6 \log (x) - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (6 \log (x) - 3)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{6 \log (x) - 3}{6} + \frac{1}{2}}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $6 \log (x) - 3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Scomponi $3$ da $6 \log (x)$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x)) - 3}{6} + \frac{1}{2}}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x)) + 3 (- 1)}{6} + \frac{1}{2}}$

Passaggio 5.2.3.1.3

Scomponi $3$ da $3 (2 \log (x)) + 3 (- 1)$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{6} + \frac{1}{2}}$

Passaggio 5.2.3.1.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.4.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{3 (2)} + \frac{1}{2}}$

Passaggio 5.2.3.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2}}$

Passaggio 5.2.3.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x) - 1}{2} + \frac{1}{2}}$

Passaggio 5.2.3.2

Semplifica $2 \log (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) - 1}{2} + \frac{1}{2}}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) - 1 + 1}{2}}$

Passaggio 5.2.4.2

Combina i termini opposti in $\log (x^{2}) - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) + 0}{2}}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Somma $\log (x^{2})$ e $0$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2})}{2}}$

Passaggio 5.2.5

Espandi $\log (x^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x)}{2}}$

Passaggio 5.2.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x)}{2}}$

Passaggio 5.2.6.2

Dividi $\log (x)$ per $1$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\log (x)}$

Passaggio 5.2.7

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 \log (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) - 3$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1

Usa le regole del logaritmo per togliere $\frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ dall'esponente.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 ((\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) \log (10)) - 3$

Passaggio 5.3.3.2

Il logaritmo in base $10$ di $10$ è $1$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 ((\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) \cdot 1) - 3$

Passaggio 5.3.3.3

Moltiplica $\frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ per $1$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) - 3$

Passaggio 5.3.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

Passaggio 5.3.3.5

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

Passaggio 5.3.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

Passaggio 5.3.3.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.6.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 2 (3) (\frac{1}{2}) - 3$

Passaggio 5.3.3.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2})) - 3$

Passaggio 5.3.3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 3 - 3$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $x + 3 - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 0$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ è l'inverso di $f (x) = 6 \log (x) - 3$ .

$f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$