Precalcolo Esempi

$f (x) = 5 x^{2} + 7$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 5 x^{2} + 7$ come un'equazione.

$y = 5 x^{2} + 7$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 5 y^{2} + 7$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $5 y^{2} + 7 = x$ .

$5 y^{2} + 7 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 y^{2} = x - 7$

Passaggio 3.3

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 y^{2} = x - 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 y^{2} = x - 7$ .

$\frac{5 y^{2}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 7}{5}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 y^{2}}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 7}{5}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{5} + \frac{- 7}{5}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = \frac{x}{5} - \frac{7}{5}$

Passaggio 3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{5} - \frac{7}{5}}$

Passaggio 3.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{x}{5} - \frac{7}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 7}{5}}$

Passaggio 3.5.2

Riscrivi $\sqrt{\frac{x - 7}{5}}$ come $\frac{\sqrt{x - 7}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{x - 7}}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Passaggio 3.5.4

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.5.4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{x - 7}}{\sqrt{5}}$ per $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Passaggio 3.5.4.2

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Passaggio 3.5.4.3

Eleva $\sqrt{5}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Passaggio 3.5.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.5.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Passaggio 3.5.4.6

Riscrivi ${\sqrt{5}}^{2}$ come $5$ .

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Passaggio 3.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{5}$ come $5^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.5.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.5.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.5.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.5.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Passaggio 3.5.4.6.5

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 7} \sqrt{5}}{5}$

Passaggio 3.5.5

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 7) \cdot 5}}{5}$

Passaggio 3.5.6

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{(x - 7) \cdot 5}}{5}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

Passaggio 3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

Passaggio 3.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

Passaggio 3.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

$y = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$ è l'inverso di $f (x) = 5 x^{2} + 7$ .

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Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = 5 x^{2} + 7$ e $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = 5 x^{2} + 7$ .

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Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[7, \infty)$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $\frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{5 (x - 7)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$5 (x - 7) \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.3.2.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 (x - 7) \geq 0$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.2.1.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 (x - 7) \geq 0$ .

$\frac{5 (x - 7)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (x - 7)}{5} \geq \frac{0}{5}$

Passaggio 5.3.2.1.2.1.2

Dividi $x - 7$ per $1$ .

$x - 7 \geq \frac{0}{5}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.2.1.3.1

Dividi $0$ per $5$ .

$x - 7 \geq 0$

Passaggio 5.3.2.2

Aggiungi $7$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x \geq 7$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[7, \infty)$

Passaggio 5.4

Trova il dominio di $f (x) = 5 x^{2} + 7$ .

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Passaggio 5.4.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

$(- \infty, \infty)$

Passaggio 5.5

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$ è l'intervallo di $f (x) = 5 x^{2} + 7$ e l'intervallo di $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$ è il dominio di $f (x) = 5 x^{2} + 7$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$ è l'inverso di $f (x) = 5 x^{2} + 7$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}, - \frac{\sqrt{5 (x - 7)}}{5}$

Passaggio 6