Precalcolo Esempi

$f (x) = 5 \arcsin (5 x - 1) + 2$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 5 \arcsin (5 x - 1) + 2$ come un'equazione.

$y = 5 \arcsin (5 x - 1) + 2$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 5 \arcsin (5 y - 1) + 2$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $5 \arcsin (5 y - 1) + 2 = x$ .

$5 \arcsin (5 y - 1) + 2 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 \arcsin (5 y - 1) = x - 2$

Passaggio 3.3

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 \arcsin (5 y - 1) = x - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 \arcsin (5 y - 1) = x - 2$ .

$\frac{5 \arcsin (5 y - 1)}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \arcsin (5 y - 1)}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $\arcsin (5 y - 1)$ per $1$ .

$\arcsin (5 y - 1) = \frac{x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\arcsin (5 y - 1) = \frac{x}{5} - \frac{2}{5}$

Passaggio 3.4

Trova l'arcoseno inverso di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ dall'interno dell'arcoseno.

$5 y - 1 = \sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})$

Passaggio 3.5

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$5 y = \sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 1$

Passaggio 3.6

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 y = \sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 y = \sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 1$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$

Passaggio 3.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$

Passaggio 3.6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$ è l'inverso di $f (x) = 5 \arcsin (5 x - 1) + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1) + 2}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$

Passaggio 5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1) + 2}{5} - \frac{2}{5}) + 1}{5}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1) + 2 - 2}{5}) + 1}{5}$

Passaggio 5.2.4.2

Combina i termini opposti in $5 \arcsin (5 x - 1) + 2 - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1) + 0}{5}) + 1}{5}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Somma $5 \arcsin (5 x - 1)$ e $0$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1)}{5}) + 1}{5}$

Passaggio 5.2.4.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1)}{5}) + 1}{5}$

Passaggio 5.2.4.3.2

Dividi $\arcsin (5 x - 1)$ per $1$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\arcsin (5 x - 1)) + 1}{5}$

Passaggio 5.2.4.4

Le funzioni di seno e arcoseno sono inverse.

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{5 x - 1 + 1}{5}$

Passaggio 5.2.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Combina i termini opposti in $5 x - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{5 x + 0}{5}$

Passaggio 5.2.5.1.2

Somma $5 x$ e $0$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{5 x}{5}$

Passaggio 5.2.5.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{5 x}{5}$

Passaggio 5.2.5.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (5 (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) - 1) + 2$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (5 (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) + 5 (\frac{1}{5}) - 1) + 2$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (5 (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) + 5 (\frac{1}{5}) - 1) + 2$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 5 (\frac{1}{5}) - 1) + 2$

Passaggio 5.3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 5.3.3.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 5 (\frac{1}{5}) - 1) + 2$

Passaggio 5.3.3.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 1 - 1) + 2$

Passaggio 5.3.3.2

Combina i termini opposti in $\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 1 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 0) + 2$

Passaggio 5.3.3.2.2

Somma $\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})$ e $0$ .

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})) + 2$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$ è l'inverso di $f (x) = 5 \arcsin (5 x - 1) + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$