Precalcolo Esempi

$f (x) = 2 e^{x + 1}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 2 e^{x + 1}$ come un'equazione.

$y = 2 e^{x + 1}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 2 e^{y + 1}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $2 e^{y + 1} = x$ .

$2 e^{y + 1} = x$

Passaggio 3.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 e^{y + 1} = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 e^{y + 1} = x$ .

$\frac{2 e^{y + 1}}{2} = \frac{x}{2}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 e^{y + 1}}{2} = \frac{x}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $e^{y + 1}$ per $1$ .

$e^{y + 1} = \frac{x}{2}$

Passaggio 3.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y + 1}) = \ln (\frac{x}{2})$

Passaggio 3.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Espandi $\ln (e^{y + 1})$ spostando $y + 1$ fuori dal logaritmo.

$(y + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{2})$

Passaggio 3.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(y + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{2})$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $y + 1$ per $1$ .

$y + 1 = \ln (\frac{x}{2})$

Passaggio 3.5

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \ln (\frac{x}{2}) - 1$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) - 1$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) - 1$ è l'inverso di $f (x) = 2 e^{x + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (2 e^{x + 1})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x + 1}}{2}) - 1$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x + 1}}{2}) - 1$

Passaggio 5.2.3.1.2

Dividi $e^{x + 1}$ per $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = \ln (e^{x + 1}) - 1$

Passaggio 5.2.3.2

Usa le regole del logaritmo per togliere $x + 1$ dall'esponente.

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = (x + 1) \ln (e) - 1$

Passaggio 5.2.3.3

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = (x + 1) \cdot 1 - 1$

Passaggio 5.2.3.4

Moltiplica $x + 1$ per $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = x + 1 - 1$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $x + 1 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\ln (\frac{x}{2}) - 1)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) - 1) = 2 e^{(\ln (\frac{x}{2}) - 1) + 1}$

Passaggio 5.3.3

Combina i termini opposti in $(\ln (\frac{x}{2}) - 1) + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) - 1) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2}) + 0}$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $\ln (\frac{x}{2})$ e $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) - 1) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2})}$

Passaggio 5.3.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (\frac{x}{2}) - 1) = 2 (\frac{x}{2})$

Passaggio 5.3.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Elimina il fattore comune.

$f (\ln (\frac{x}{2}) - 1) = 2 (\frac{x}{2})$

Passaggio 5.3.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\ln (\frac{x}{2}) - 1) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) - 1$ è l'inverso di $f (x) = 2 e^{x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) - 1$