Precalcolo Esempi

$f (x) = 3 e^{x}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 3 e^{x}$ come un'equazione.

$y = 3 e^{x}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 3 e^{y}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $3 e^{y} = x$ .

$3 e^{y} = x$

Passaggio 3.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 e^{y} = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 e^{y} = x$ .

$\frac{3 e^{y}}{3} = \frac{x}{3}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 e^{y}}{3} = \frac{x}{3}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $e^{y}$ per $1$ .

$e^{y} = \frac{x}{3}$

Passaggio 3.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{y}) = \ln (\frac{x}{3})$

Passaggio 3.4

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.4.1

Espandi $\ln (e^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (e) = \ln (\frac{x}{3})$

Passaggio 3.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\frac{x}{3})$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$y = \ln (\frac{x}{3})$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{3})$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{3})$ è l'inverso di $f (x) = 3 e^{x}$ .

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Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (3 e^{x})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 e^{x}) = \ln (\frac{3 e^{x}}{3})$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (3 e^{x}) = \ln (\frac{3 e^{x}}{3})$

Passaggio 5.2.3.2

Dividi $e^{x}$ per $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{x}) = \ln (e^{x})$

Passaggio 5.2.4

Usa le regole del logaritmo per togliere $x$ dall'esponente.

$f^{- 1} (3 e^{x}) = x \ln (e)$

Passaggio 5.2.5

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{x}) = x \cdot 1$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (3 e^{x}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\ln (\frac{x}{3}))$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{3})) = 3 e^{\ln (\frac{x}{3})}$

Passaggio 5.3.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (\frac{x}{3})) = 3 (\frac{x}{3})$

Passaggio 5.3.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\ln (\frac{x}{3})) = 3 (\frac{x}{3})$

Passaggio 5.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\ln (\frac{x}{3})) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{3})$ è l'inverso di $f (x) = 3 e^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{3})$