Precalcolo Esempi

$y = \log_{4} (x - 1)$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \log_{4} (y - 1)$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\log_{4} (y - 1) = x$ .

$\log_{4} (y - 1) = x$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\log_{4} (y - 1) = x$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{x} = y - 1$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi l'equazione come $y - 1 = 4^{x}$ .

$y - 1 = 4^{x}$

Passaggio 2.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 4^{x} + 1$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = 4^{x} + 1$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = 4^{x} + 1$ è l'inverso di $f (x) = \log_{4} (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\log_{4} (x - 1))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x - 1)) = 4^{\log_{4} (x - 1)} + 1$

Passaggio 4.2.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (\log_{4} (x - 1)) = x - 1 + 1$

Passaggio 4.2.4

Combina i termini opposti in $x - 1 + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Somma $- 1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x - 1)) = x + 0$

Passaggio 4.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x - 1)) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (4^{x} + 1)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (4^{x} + 1) = \log_{4} ((4^{x} + 1) - 1)$

Passaggio 4.3.3

Combina i termini opposti in $(4^{x} + 1) - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (4^{x} + 1) = \log_{4} (4^{x} + 0)$

Passaggio 4.3.3.2

Somma $4^{x}$ e $0$ .

$f (4^{x} + 1) = \log_{4} (4^{x})$

Passaggio 4.3.4

Usa le regole del logaritmo per togliere $x$ dall'esponente.

$f (4^{x} + 1) = x \log_{4} (4)$

Passaggio 4.3.5

Il logaritmo in base $4$ di $4$ è $1$ .

$f (4^{x} + 1) = x \cdot 1$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (4^{x} + 1) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 4^{x} + 1$ è l'inverso di $f (x) = \log_{4} (x - 1)$ .

$f^{- 1} (x) = 4^{x} + 1$