Precalcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{2} - 4 x - 2$

Passaggio 1

Il minimo di una funzione quadratica si verifica in prossimità di $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se $a$ è positivo, il valore minimo della funzione è $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ compare in corrispondenza di $x = - \frac{b}{2 a}$

Passaggio 2

Trova il valore di $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ .

$x = - \frac{- 4}{2 (3)}$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi.

$x = - \frac{- 4}{2 (3)}$

Passaggio 2.3

Semplifica $- \frac{- 4}{2 (3)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 3$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 2}{2 (3)}$

Passaggio 2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = - \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = - \frac{- 2}{3}$

Passaggio 2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - - \frac{2}{3}$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- - \frac{2}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1 (\frac{2}{3})$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Passaggio 3

Calcola $f (\frac{2}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{2}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{2}{3}) = 3 {(\frac{2}{3})}^{2} - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Passaggio 3.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3^{2}}) - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Passaggio 3.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{9}) - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Passaggio 3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.4.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 (3)}) - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Passaggio 3.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 \cdot 3}) - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Passaggio 3.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Passaggio 3.2.1.5

Moltiplica $- 4 (\frac{2}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.5.1

$- 4$ e $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 2}{3} - 2$

Passaggio 3.2.1.5.2

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{3} - 2$

Passaggio 3.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} - 2$

Passaggio 3.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{2}{3}) = - 2 + \frac{4 - 8}{3}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Sottrai $8$ da $4$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 2 + \frac{- 4}{3}$

Passaggio 3.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{2}{3}) = - 2 - \frac{4}{3}$

Passaggio 3.2.3

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Passaggio 3.2.4

$- 2$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 2 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Passaggio 3.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 2 \cdot 3 - 4}{3}$

Passaggio 3.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 6 - 4}{3}$

Passaggio 3.2.6.2

Sottrai $4$ da $- 6$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 10}{3}$

Passaggio 3.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{2}{3}) = - \frac{10}{3}$

Passaggio 3.2.8

La risposta finale è $- \frac{10}{3}$ .

$- \frac{10}{3}$

Passaggio 4

Usa i valori $x$ e $y$ per individuare dove si ha il valore minimo.

$(\frac{2}{3}, - \frac{10}{3})$

Passaggio 5