Precalcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{2} - 2 x - 4$

Passaggio 1

Il minimo di una funzione quadratica si verifica in prossimità di $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se $a$ è positivo, il valore minimo della funzione è $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ compare in corrispondenza di $x = - \frac{b}{2 a}$

Passaggio 2

Trova il valore di $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ .

$x = - \frac{- 2}{2 (3)}$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi.

$x = - \frac{- 2}{2 (3)}$

Passaggio 2.3

Semplifica $- \frac{- 2}{2 (3)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 3$ .

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 (3)}$

Passaggio 2.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = - \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 3}$

Passaggio 2.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = - \frac{- 1}{3}$

Passaggio 2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - - \frac{1}{3}$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- - \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1 (\frac{1}{3})$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 3

Calcola $f (\frac{1}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{3}) = 3 {(\frac{1}{3})}^{2} - 2 (\frac{1}{3}) - 4$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1^{2}}{3^{2}}) - 2 (\frac{1}{3}) - 4$

Passaggio 3.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3^{2}}) - 2 (\frac{1}{3}) - 4$

Passaggio 3.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{9}) - 2 (\frac{1}{3}) - 4$

Passaggio 3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.4.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$f (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3 (3)}) - 2 (\frac{1}{3}) - 4$

Passaggio 3.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{3}) = 3 (\frac{1}{3 \cdot 3}) - 2 (\frac{1}{3}) - 4$

Passaggio 3.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - 2 (\frac{1}{3}) - 4$

Passaggio 3.2.1.5

$- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{- 2}{3} - 4$

Passaggio 3.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} - \frac{2}{3} - 4$

Passaggio 3.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{3}) = - 4 + \frac{1 - 2}{3}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Sottrai $2$ da $1$ .

$f (\frac{1}{3}) = - 4 + \frac{- 1}{3}$

Passaggio 3.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{1}{3}) = - 4 - \frac{1}{3}$

Passaggio 3.2.3

Per scrivere $- 4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = - 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Passaggio 3.2.4

$- 4$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 4 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3}$

Passaggio 3.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 4 \cdot 3 - 1}{3}$

Passaggio 3.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 12 - 1}{3}$

Passaggio 3.2.6.2

Sottrai $1$ da $- 12$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 13}{3}$

Passaggio 3.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{1}{3}) = - \frac{13}{3}$

Passaggio 3.2.8

La risposta finale è $- \frac{13}{3}$ .

$- \frac{13}{3}$

Passaggio 4

Usa i valori $x$ e $y$ per individuare dove si ha il valore minimo.

$(\frac{1}{3}, - \frac{13}{3})$

Passaggio 5