Precalcolo Esempi

$g (x) = 2 x^{2} + 6 x + 3$

Passaggio 1

Il minimo di una funzione quadratica si verifica in prossimità di $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se $a$ è positivo, il valore minimo della funzione è $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ compare in corrispondenza di $x = - \frac{b}{2 a}$

Passaggio 2

Trova il valore di $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ .

$x = - \frac{6}{2 (2)}$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi.

$x = - \frac{6}{2 (2)}$

Passaggio 2.3

Elimina il fattore comune di $6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$x = - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 2$ .

$x = - \frac{2 \cdot 3}{2 (2)}$

Passaggio 2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = - \frac{3}{2}$

Passaggio 3

Calcola $f (- \frac{3}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{3}{2}$ nell'espressione.

$g (- \frac{3}{2}) = 2 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$g (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Passaggio 3.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$g (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Passaggio 3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Passaggio 3.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2^{2}}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Passaggio 3.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{4}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Passaggio 3.2.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.6.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2 (2)}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Passaggio 3.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2 \cdot 2}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Passaggio 3.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Passaggio 3.2.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{2}$ nel numeratore.

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 6 (\frac{- 3}{2}) + 3$

Passaggio 3.2.1.7.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 2 (3) (\frac{- 3}{2}) + 3$

Passaggio 3.2.1.7.3

Elimina il fattore comune.

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 3}{2})) + 3$

Passaggio 3.2.1.7.4

Riscrivi l'espressione.

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 3 \cdot - 3 + 3$

Passaggio 3.2.1.8

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} - 9 + 3$

Passaggio 3.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scrivi $- 9$ come una frazione con denominatore $1$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9}{1} + 3$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 9}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{2}{2} + 3$

Passaggio 3.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 9}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + 3$

Passaggio 3.2.2.4

Scrivi $3$ come una frazione con denominatore $1$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{3}{1}$

Passaggio 3.2.2.5

Moltiplica $\frac{3}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 3.2.2.6

Moltiplica $\frac{3}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 + 3 \cdot 2}{2}$

Passaggio 3.2.4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 + 6}{2}$

Passaggio 3.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Sottrai $18$ da $9$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{- 9 + 6}{2}$

Passaggio 3.2.5.2

Somma $- 9$ e $6$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 3.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$g (- \frac{3}{2}) = - \frac{3}{2}$

Passaggio 3.2.6

La risposta finale è $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Passaggio 4

Usa i valori $x$ e $y$ per individuare dove si ha il valore minimo.

$(- \frac{3}{2}, - \frac{3}{2})$

Passaggio 5