Precalcolo Esempi

$\cos (2 θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$2 θ = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1

Il valore esatto di $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ è $\frac{5 π}{6}$ .

$2 θ = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 θ = \frac{5 π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 θ = \frac{5 π}{6}$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$θ = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $\frac{5 π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$θ = \frac{5 π}{12}$

Passaggio 4

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$2 θ = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Passaggio 5

Risolvi per $θ$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica.

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Passaggio 5.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Passaggio 5.1.2

$2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$2 θ = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Passaggio 5.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 θ = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $6$ per $2$ .

$2 θ = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Passaggio 5.1.5

Sottrai $5 π$ da $12 π$ .

$2 θ = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 5.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 θ = \frac{7 π}{6}$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 θ = \frac{7 π}{6}$ .

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi $θ$ per $1$ .

$θ = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$θ = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{7 π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$θ = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 5.2.3.2.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$θ = \frac{7 π}{12}$

Passaggio 6

Trova il periodo di $\cos (2 θ)$ .

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Passaggio 6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 6.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 7

Il periodo della funzione $\cos (2 θ)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{7 π}{12} + π n$ , per qualsiasi intero $n$