Precalcolo Esempi

$f (x) = x^{2} + 9 x - 16$

Passaggio 1

Il minimo di una funzione quadratica si verifica in prossimità di $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se $a$ è positivo, il valore minimo della funzione è $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ compare in corrispondenza di $x = - \frac{b}{2 a}$

Passaggio 2

Trova il valore di $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Passaggio 2.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ .

$x = - \frac{9}{2 (1)}$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi.

$x = - \frac{9}{2 (1)}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = - \frac{9}{2}$

Passaggio 3

Calcola $f (- \frac{9}{2})$ .

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Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{9}{2}$ nell'espressione.

$f (- \frac{9}{2}) = {(- \frac{9}{2})}^{2} + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

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Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{9}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{9}{2})}^{2} + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Passaggio 3.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = {(- 1)}^{2} (\frac{9^{2}}{2^{2}}) + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Passaggio 3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{9}{2}) = 1 (\frac{9^{2}}{2^{2}}) + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $\frac{9^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{9^{2}}{2^{2}} + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Passaggio 3.2.1.4

Eleva $9$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{2^{2}} + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Passaggio 3.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} + 9 (- \frac{9}{2}) - 16$

Passaggio 3.2.1.6

Moltiplica $9 (- \frac{9}{2})$ .

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Passaggio 3.2.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - 9 (\frac{9}{2}) - 16$

Passaggio 3.2.1.6.2

$- 9$ e $\frac{9}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{- 9 \cdot 9}{2} - 16$

Passaggio 3.2.1.6.3

Moltiplica $- 9$ per $9$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} + \frac{- 81}{2} - 16$

Passaggio 3.2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81}{2} - 16$

Passaggio 3.2.2

Trova il comune denominatore.

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Passaggio 3.2.2.1

Moltiplica $\frac{81}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - (\frac{81}{2} \cdot \frac{2}{2}) - 16$

Passaggio 3.2.2.2

Moltiplica $\frac{81}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} - 16$

Passaggio 3.2.2.3

Scrivi $- 16$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 16}{1}$

Passaggio 3.2.2.4

Moltiplica $\frac{- 16}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 16}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 3.2.2.5

Moltiplica $\frac{- 16}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{- 16 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.2.2.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81}{4} - \frac{81 \cdot 2}{4} + \frac{- 16 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81 - 81 \cdot 2 - 16 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $- 81$ per $2$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81 - 162 - 16 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.2.4.2

Moltiplica $- 16$ per $4$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{81 - 162 - 64}{4}$

Passaggio 3.2.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.2.5.1

Sottrai $162$ da $81$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{- 81 - 64}{4}$

Passaggio 3.2.5.2

Sottrai $64$ da $- 81$ .

$f (- \frac{9}{2}) = \frac{- 145}{4}$

Passaggio 3.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{9}{2}) = - \frac{145}{4}$

Passaggio 3.2.6

La risposta finale è $- \frac{145}{4}$ .

$- \frac{145}{4}$

Passaggio 4

Usa i valori $x$ e $y$ per individuare dove si ha il valore minimo.

$(- \frac{9}{2}, - \frac{145}{4})$

Passaggio 5