Precalcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5$

Passaggio 1

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ .

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}$

Passaggio 2

Applica la divisione sintetica su $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5}{x + 1}$ quando $x = - 1$ .

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Passaggio 2.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

Passaggio 2.2

Il primo numero nel dividendo $(2)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

	$2$

Passaggio 2.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(- 1)$ e posiziona il risultato di $(- 2)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 2)$ .

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$
	$2$

Passaggio 2.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$
	$2$	$- 4$

Passaggio 2.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 4)$ per il divisore $(- 1)$ e posiziona il risultato di $(4)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 3)$ .

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$	$4$
	$2$	$- 4$

Passaggio 2.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$	$4$
	$2$	$- 4$	$1$

Passaggio 2.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(- 1)$ e posiziona il risultato di $(- 1)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 5)$ .

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$	$4$	$- 1$
	$2$	$- 4$	$1$

Passaggio 2.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$	$4$	$- 1$
	$2$	$- 4$	$1$	$- 6$

Passaggio 2.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$2 x^{2} + - 4 x + 1 + \frac{- 6}{x + 1}$

Passaggio 2.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$2 x^{2} - 4 x + 1 - \frac{6}{x + 1}$

Passaggio 3

Poiché $- 1 < 0$ e tutti i segni nella riga inferiore della divisione sintetica alternano il segno, $- 1$ è un minorante per le radici reali della funzione.

Minorante: $- 1$

Passaggio 4

Applica la divisione sintetica su $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5}{x - 5}$ quando $x = 5$ .

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Passaggio 4.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

Passaggio 4.2

Il primo numero nel dividendo $(2)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

	$2$

Passaggio 4.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(5)$ e posiziona il risultato di $(10)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 2)$ .

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$
	$2$

Passaggio 4.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$
	$2$	$8$

Passaggio 4.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(8)$ per il divisore $(5)$ e posiziona il risultato di $(40)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 3)$ .

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$	$40$
	$2$	$8$

Passaggio 4.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$	$40$
	$2$	$8$	$37$

Passaggio 4.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(37)$ per il divisore $(5)$ e posiziona il risultato di $(185)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 5)$ .

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$	$40$	$185$
	$2$	$8$	$37$

Passaggio 4.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$	$40$	$185$
	$2$	$8$	$37$	$180$

Passaggio 4.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$2 x^{2} + 8 x + 37 + \frac{180}{x - 5}$

Passaggio 5

Poiché $5 > 0$ e tutti i segni nella riga inferiore della divisione sintetica sono positivi, $5$ è un maggiorante per le radici reali della funzione.

Maggiorante: $5$

Passaggio 6

Applica la divisione sintetica su $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5}{x + 5}$ quando $x = - 5$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(2)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

	$2$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(- 5)$ e posiziona il risultato di $(- 10)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 2)$ .

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$
	$2$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$
	$2$	$- 12$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 12)$ per il divisore $(- 5)$ e posiziona il risultato di $(60)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 3)$ .

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$	$60$
	$2$	$- 12$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$	$60$
	$2$	$- 12$	$57$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(57)$ per il divisore $(- 5)$ e posiziona il risultato di $(- 285)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 5)$ .

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$	$60$	$- 285$
	$2$	$- 12$	$57$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$	$60$	$- 285$
	$2$	$- 12$	$57$	$- 290$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$2 x^{2} + - 12 x + 57 + \frac{- 290}{x + 5}$

Passaggio 6.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$2 x^{2} - 12 x + 57 - \frac{290}{x + 5}$

Passaggio 7

Poiché $- 5 < 0$ e tutti i segni nella riga inferiore della divisione sintetica alternano il segno, $- 5$ è un minorante per le radici reali della funzione.

Minorante: $- 5$

Passaggio 8

Applica la divisione sintetica su $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5}{x - \frac{5}{2}}$ quando $x = \frac{5}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

Passaggio 8.2

Il primo numero nel dividendo $(2)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

	$2$

Passaggio 8.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(\frac{5}{2})$ e posiziona il risultato di $(5)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 2)$ .

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$
	$2$

Passaggio 8.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$
	$2$	$3$

Passaggio 8.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(3)$ per il divisore $(\frac{5}{2})$ e posiziona il risultato di $(\frac{15}{2})$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 3)$ .

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$	$\frac{15}{2}$
	$2$	$3$

Passaggio 8.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$	$\frac{15}{2}$
	$2$	$3$	$\frac{9}{2}$

Passaggio 8.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(\frac{9}{2})$ per il divisore $(\frac{5}{2})$ e posiziona il risultato di $(\frac{45}{4})$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 5)$ .

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$	$\frac{15}{2}$	$\frac{45}{4}$
	$2$	$3$	$\frac{9}{2}$

Passaggio 8.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$	$\frac{15}{2}$	$\frac{45}{4}$
	$2$	$3$	$\frac{9}{2}$	$\frac{25}{4}$

Passaggio 8.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$2 x^{2} + 3 x + \frac{9}{2} + \frac{\frac{25}{4}}{x - \frac{5}{2}}$

Passaggio 8.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$2 x^{2} + 3 x + \frac{9}{2} + \frac{25}{2 (2 x - 5)}$

Passaggio 9

Poiché $\frac{5}{2} > 0$ e tutti i segni nella riga inferiore della divisione sintetica sono positivi, $\frac{5}{2}$ è un maggiorante per le radici reali della funzione.

Maggiorante: $\frac{5}{2}$

Passaggio 10

Applica la divisione sintetica su $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5}{x + \frac{5}{2}}$ quando $x = - \frac{5}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

Passaggio 10.2

Il primo numero nel dividendo $(2)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

	$2$

Passaggio 10.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(- \frac{5}{2})$ e posiziona il risultato di $(- 5)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 2)$ .

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$
	$2$

Passaggio 10.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$
	$2$	$- 7$

Passaggio 10.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 7)$ per il divisore $(- \frac{5}{2})$ e posiziona il risultato di $(\frac{35}{2})$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 3)$ .

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{35}{2}$
	$2$	$- 7$

Passaggio 10.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{35}{2}$
	$2$	$- 7$	$\frac{29}{2}$

Passaggio 10.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(\frac{29}{2})$ per il divisore $(- \frac{5}{2})$ e posiziona il risultato di $(- \frac{145}{4})$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 5)$ .

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{35}{2}$	$- \frac{145}{4}$
	$2$	$- 7$	$\frac{29}{2}$

Passaggio 10.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{35}{2}$	$- \frac{145}{4}$
	$2$	$- 7$	$\frac{29}{2}$	$- \frac{165}{4}$

Passaggio 10.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$2 x^{2} + - 7 x + \frac{29}{2} + \frac{- \frac{165}{4}}{x + \frac{5}{2}}$

Passaggio 10.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$2 x^{2} - 7 x + \frac{29}{2} - \frac{165}{2 (2 x + 5)}$

Passaggio 11

Poiché $- \frac{5}{2} < 0$ e tutti i segni nella riga inferiore della divisione sintetica alternano il segno, $- \frac{5}{2}$ è un minorante per le radici reali della funzione.

Minorante: $- \frac{5}{2}$

Passaggio 12

Determina i limiti superiore e inferiore.

Maggioranti: $5, \frac{5}{2}$

Minoranti: $- 1, - 5, - \frac{5}{2}$

Passaggio 13