Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{4 x - 2}{3 x}$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = \frac{4 (x + h) - 2}{3 (x + h)}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Scomponi $2$ da $4 (x + h) - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1.1

Scomponi $2$ da $4 (x + h)$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) - 2}{3 (x + h)}$

Passaggio 2.1.2.1.1.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) + 2 (- 1)}{3 (x + h)}$

Passaggio 2.1.2.1.1.3

Scomponi $2$ da $2 (2 (x + h)) + 2 (- 1)$ .

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - 1)}{3 (x + h)}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = \frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$ .

$\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

Passaggio 2.2

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = \frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

$f (x) = \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$

$f (x + h) = \frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

$f (x) = \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)} - (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Per scrivere $\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}}{h}$

Passaggio 4.1.2

Per scrivere $- \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 (2 x - 1)}{3 x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Passaggio 4.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $3 (x + h) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Moltiplica $\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x}{3 (x + h) x} - \frac{2 (2 x - 1)}{3 x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $\frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$ per $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x}{3 (x + h) x} - \frac{2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.3.3

Riordina i fattori di $3 (x + h) x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x}{3 x (x + h)} - \frac{2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x - 2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5

Riscrivi $\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x - 2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 4.1.5.1

Scomponi $2$ da $2 (2 x + 2 h - 1) x - 2 (2 x - 1) (x + h)$ .

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Passaggio 4.1.5.1.1

Scomponi $2$ da $2 (2 x + 2 h - 1) x$ .

$\frac{\frac{2 ((2 x + 2 h - 1) x) - 2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.1.2

Scomponi $2$ da $- 2 (2 x - 1) (x + h)$ .

$\frac{\frac{2 ((2 x + 2 h - 1) x) + 2 (- (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.1.3

Scomponi $2$ da $2 ((2 x + 2 h - 1) x) + 2 (- (2 x - 1) (x + h))$ .

$\frac{\frac{2 ((2 x + 2 h - 1) x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{2 (2 x \cdot x + 2 h x - 1 x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3

Semplifica.

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Passaggio 4.1.5.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1.5.3.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{\frac{2 (2 (x \cdot x) + 2 h x - 1 x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - 1 x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x + (- (2 x) - - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x + (- 2 x - - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x + (- 2 x + 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.7

Espandi $(- 2 x + 1) (x + h)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.5.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x (x + h) + 1 (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x \cdot x - 2 x h + 1 (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x \cdot x - 2 x h + 1 x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.8

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.8.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.1.5.8.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 (x \cdot x) - 2 x h + 1 x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.8.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x^{2} - 2 x h + 1 x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.8.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x^{2} - 2 x h + x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.8.3

Moltiplica $h$ per $1$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x^{2} - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.9

Sottrai $2 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (2 h x - x + 0 - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.10

Somma $2 h x$ e $0$ .

$\frac{\frac{2 (2 h x - x - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.11

Sottrai $2 x h$ da $2 h x$ .

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Passaggio 4.1.5.11.1

Sposta $h$ .

$\frac{\frac{2 (- x + 2 x h - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.11.2

Sottrai $2 x h$ da $2 x h$ .

$\frac{\frac{2 (- x + 0 + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.12

Somma $- x$ e $0$ .

$\frac{\frac{2 (- x + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.13

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{\frac{2 (0 + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.14

Somma $0$ e $h$ .

$\frac{\frac{2 h}{3 x (x + h)}}{h}$

Passaggio 4.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{2 h}{3 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $h$ .

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Passaggio 4.3.1

Scomponi $h$ da $2 h$ .

$\frac{h \cdot 2}{3 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{h \cdot 2}{3 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{3 x (x + h)}$

Passaggio 5