Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x}{x - 1}$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{(x + h) - 1}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $\frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$ .

$\frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$

Passaggio 2.2

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$

$f (x) = \frac{2 x}{x - 1}$

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$

$f (x) = \frac{2 x}{x - 1}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h - 1} - (\frac{2 x}{x - 1})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Per scrivere $\frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{2 (x + h)}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x}{x - 1}}{h}$

Passaggio 4.1.2

Per scrivere $- \frac{2 x}{x - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{\frac{2 (x + h)}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Passaggio 4.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + h - 1) (x - 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Moltiplica $\frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$ per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{2 (x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $\frac{2 x}{x - 1}$ per $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{\frac{2 (x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{2 x (x + h - 1)}{(x - 1) (x + h - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.3.3

Riordina i fattori di $(x - 1) (x + h - 1)$ .

$\frac{\frac{2 (x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{2 x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 (x + h) (x - 1) - 2 x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5

Riscrivi $\frac{2 (x + h) (x - 1) - 2 x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Scomponi $2$ da $2 (x + h) (x - 1) - 2 x (x + h - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1.1

Scomponi $2$ da $2 (x + h) (x - 1)$ .

$\frac{\frac{2 ((x + h) (x - 1)) - 2 x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.1.2

Scomponi $2$ da $- 2 x (x + h - 1)$ .

$\frac{\frac{2 ((x + h) (x - 1)) + 2 (- x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.1.3

Scomponi $2$ da $2 ((x + h) (x - 1)) + 2 (- x (x + h - 1))$ .

$\frac{\frac{2 ((x + h) (x - 1) - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2

Espandi $(x + h) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{2 (x (x - 1) + h (x - 1) - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 + h (x - 1) - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3.4

Sposta $- 1$ alla sinistra di $h$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - 1 \cdot h - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3.5

Riscrivi $- 1 h$ come $- h$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x \cdot x - x h - x \cdot - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.5.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.5.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - (x \cdot x) - x h - x \cdot - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h - x \cdot - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5.2

Moltiplica $- x \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h + 1 x)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5.2.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h + x)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.6

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (- x + h x - h + 0 - x h + x)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.7

Somma $- x$ e $0$ .

$\frac{\frac{2 (- x + h x - h - x h + x)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.8

Somma $- x$ e $x$ .

$\frac{\frac{2 (h x - h - x h + 0)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.9

Somma $h x - h - x h$ e $0$ .

$\frac{\frac{2 (h x - h - x h)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.10

Sottrai $x h$ da $h x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.10.1

Riordina $h$ e $x$ .

$\frac{\frac{2 (- h + x h - x h)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.10.2

Sottrai $x h$ da $x h$ .

$\frac{\frac{2 (- h + 0)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.11

Somma $- h$ e $0$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 1 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.12

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 4.1.5.12.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{\frac{- (2 h)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.12.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{- 2 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- \frac{2 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{2 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $h$ .

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Passaggio 4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$ nel numeratore.

$\frac{- 2 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.2

Scomponi $h$ da $- 2 h$ .

$\frac{h \cdot - 2}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{h \cdot - 2}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Passaggio 4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Passaggio 5