Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{5}{3 x - 1}$

Passaggio 1

Considera la formula del rapporto incrementale.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Passaggio 2

Trova i componenti della definizione.

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Passaggio 2.1

Risolvi la funzione per $x = x + h$ .

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Passaggio 2.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $x + h$ nell'espressione.

$f (x + h) = \frac{5}{3 (x + h) - 1}$

Passaggio 2.1.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x + h) = \frac{5}{3 x + 3 h - 1}$

Passaggio 2.1.2.2

La risposta finale è $\frac{5}{3 x + 3 h - 1}$ .

$\frac{5}{3 x + 3 h - 1}$

Passaggio 2.2

Trova i componenti della definizione.

$f (x + h) = \frac{5}{3 x + 3 h - 1}$

$f (x) = \frac{5}{3 x - 1}$

$f (x + h) = \frac{5}{3 x + 3 h - 1}$

$f (x) = \frac{5}{3 x - 1}$

Passaggio 3

Collega i componenti.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{5}{3 x + 3 h - 1} - (\frac{5}{3 x - 1})}{h}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Per scrivere $\frac{5}{3 x + 3 h - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{\frac{5}{3 x + 3 h - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1} - \frac{5}{3 x - 1}}{h}$

Passaggio 4.1.2

Per scrivere $- \frac{5}{3 x - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 x + 3 h - 1}{3 x + 3 h - 1}$ .

$\frac{\frac{5}{3 x + 3 h - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1} - \frac{5}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x + 3 h - 1}{3 x + 3 h - 1}}{h}$

Passaggio 4.1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.1.3.1

Moltiplica $\frac{5}{3 x + 3 h - 1}$ per $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} - \frac{5}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x + 3 h - 1}{3 x + 3 h - 1}}{h}$

Passaggio 4.1.3.2

Moltiplica $\frac{5}{3 x - 1}$ per $\frac{3 x + 3 h - 1}{3 x + 3 h - 1}$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} - \frac{5 (3 x + 3 h - 1)}{(3 x - 1) (3 x + 3 h - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.3.3

Riordina i fattori di $(3 x - 1) (3 x + 3 h - 1)$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} - \frac{5 (3 x + 3 h - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{5 (3 x - 1) - 5 (3 x + 3 h - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5

Riscrivi $\frac{5 (3 x - 1) - 5 (3 x + 3 h - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 4.1.5.1

Scomponi $5$ da $5 (3 x - 1) - 5 (3 x + 3 h - 1)$ .

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Passaggio 4.1.5.1.1

Scomponi $5$ da $- 5 (3 x + 3 h - 1)$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1) + 5 (- (3 x + 3 h - 1))}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.1.2

Scomponi $5$ da $5 (3 x - 1) + 5 (- (3 x + 3 h - 1))$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1 - (3 x + 3 h - 1))}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\frac{5 (3 x - 1 - (3 x) - (3 h) - - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3

Semplifica.

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Passaggio 4.1.5.3.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1 - 3 x - (3 h) - - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1 - 3 x - 3 h - - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1 - 3 x - 3 h + 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.4

Sottrai $3 x$ da $3 x$ .

$\frac{\frac{5 (0 - 1 - 3 h + 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.5

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{\frac{5 (- 1 - 3 h + 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.6

Somma $- 1$ e $1$ .

$\frac{\frac{5 (- 3 h + 0)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.7

Somma $- 3 h$ e $0$ .

$\frac{\frac{5 \cdot - 3 h}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.5.8

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$\frac{\frac{- 15 h}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- \frac{15 h}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Passaggio 4.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- \frac{15 h}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune di $h$ .

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Passaggio 4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{15 h}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}$ nel numeratore.

$\frac{- 15 h}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.2

Scomponi $h$ da $- 15 h$ .

$\frac{h \cdot - 15}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{h \cdot - 15}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Passaggio 4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 15}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}$

Passaggio 4.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{15}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}$

Passaggio 5