Precalcolo Esempi

$f (x) = - 2 t^{2} + 4 t + 1$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = - 2 t^{2} + 4 t + 1$ come un'equazione.

$y = - 2 t^{2} + 4 t + 1$

Passaggio 2

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Completa il quadrato per $- 2 t^{2} + 4 t + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 2$

$b = 4$

$c = 1$

Passaggio 2.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.1.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (- 2)}$

Passaggio 2.1.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 2.1.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{2}{- 2}$

Passaggio 2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$d = \frac{2 (1)}{- 2}$

Passaggio 2.1.3.2.2.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.1.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$d = - 1$

Passaggio 2.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 2}$

Passaggio 2.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $4^{2}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1.1.1

Scomponi $4$ da $4^{2}$ .

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 2}$

Passaggio 2.1.4.2.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1.1.2.1

Scomponi $4$ da $4 \cdot - 2$ .

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- 2)}$

Passaggio 2.1.4.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$e = 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 2}$

Passaggio 2.1.4.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 1 - \frac{4}{- 2}$

Passaggio 2.1.4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$e = 1 - \frac{2 (2)}{- 2}$

Passaggio 2.1.4.2.1.2.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{2}{- 1}$ .

$e = 1 - (- 1 \cdot 2)$

Passaggio 2.1.4.2.1.3

Moltiplica $- (- 1 \cdot 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$e = 1 - - 2$

Passaggio 2.1.4.2.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$e = 1 + 2$

Passaggio 2.1.4.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$e = 3$

Passaggio 2.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- 2 {(t - 1)}^{2} + 3$ .

$- 2 {(t - 1)}^{2} + 3$

Passaggio 2.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = - 2 {(t - 1)}^{2} + 3$

Passaggio 3

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(t - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 2$

$h = 1$

$k = 3$

Passaggio 4

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 5

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(1, 3)$

Passaggio 6

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 6.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Passaggio 6.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Passaggio 6.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{8}$

Passaggio 7

Trova il fuoco.

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Passaggio 7.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(1, \frac{23}{8})$

Passaggio 8

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$t = 1$

Passaggio 9

Trova la direttrice.

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Passaggio 9.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = \frac{25}{8}$

Passaggio 10

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(1, 3)$

Fuoco: $(1, \frac{23}{8})$

Asse di simmetria: $t = 1$

Direttrice: $y = \frac{25}{8}$

Passaggio 11