Precalcolo Esempi

$y = \sqrt{144 - x^{2}}$ , $y = 16 - x$

Passaggio 1

Elimina i lati uguali di ciascuna equazione e combinale.

$\sqrt{144 - x^{2}} = 16 - x$

Passaggio 2

Risolvi $\sqrt{144 - x^{2}} = 16 - x$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{144 - x^{2}}}^{2} = {(16 - x)}^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{144 - x^{2}}$ come ${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(16 - x)}^{2}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Semplifica ${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(16 - x)}^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(16 - x)}^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(144 - x^{2})}^{1} = {(16 - x)}^{2}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Semplifica.

$144 - x^{2} = {(16 - x)}^{2}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Semplifica ${(16 - x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Riscrivi ${(16 - x)}^{2}$ come $(16 - x) (16 - x)$ .

$144 - x^{2} = (16 - x) (16 - x)$

Passaggio 2.2.3.1.2

Espandi $(16 - x) (16 - x)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$144 - x^{2} = 16 (16 - x) - x (16 - x)$

Passaggio 2.2.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$144 - x^{2} = 16 \cdot 16 + 16 (- x) - x (16 - x)$

Passaggio 2.2.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$144 - x^{2} = 16 \cdot 16 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)$

Passaggio 2.2.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.3.1.1

Moltiplica $16$ per $16$ .

$144 - x^{2} = 256 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)$

Passaggio 2.2.3.1.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - x \cdot 16 - x (- x)$

Passaggio 2.2.3.1.3.1.3

Moltiplica $16$ per $- 1$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - x (- x)$

Passaggio 2.2.3.1.3.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Passaggio 2.2.3.1.3.1.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.3.1.5.1

Sposta $x$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Passaggio 2.2.3.1.3.1.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Passaggio 2.2.3.1.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x + 1 x^{2}$

Passaggio 2.2.3.1.3.1.7

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x + x^{2}$

Passaggio 2.2.3.1.3.2

Sottrai $16 x$ da $- 16 x$ .

$144 - x^{2} = 256 - 32 x + x^{2}$

Passaggio 2.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$256 - 32 x + x^{2} = 144 - x^{2}$

Passaggio 2.3.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Somma $x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$256 - 32 x + x^{2} + x^{2} = 144$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$256 - 32 x + 2 x^{2} = 144$

Passaggio 2.3.3

Sottrai $144$ da entrambi i lati dell'equazione.

$256 - 32 x + 2 x^{2} - 144 = 0$

Passaggio 2.3.4

Sottrai $144$ da $256$ .

$- 32 x + 2 x^{2} + 112 = 0$

Passaggio 2.3.5

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Scomponi $2$ da $- 32 x + 2 x^{2} + 112$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.1

Scomponi $2$ da $- 32 x$ .

$2 (- 16 x) + 2 x^{2} + 112 = 0$

Passaggio 2.3.5.1.2

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$2 (- 16 x) + 2 (x^{2}) + 112 = 0$

Passaggio 2.3.5.1.3

Scomponi $2$ da $112$ .

$2 (- 16 x) + 2 x^{2} + 2 \cdot 56 = 0$

Passaggio 2.3.5.1.4

Scomponi $2$ da $2 (- 16 x) + 2 x^{2}$ .

$2 (- 16 x + x^{2}) + 2 \cdot 56 = 0$

Passaggio 2.3.5.1.5

Scomponi $2$ da $2 (- 16 x + x^{2}) + 2 \cdot 56$ .

$2 (- 16 x + x^{2} + 56) = 0$

Passaggio 2.3.5.2

Riordina i termini.

$2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$

Passaggio 2.3.6

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16 x + 56)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (x^{2} - 16 x + 56)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.6.2.1.2

Dividi $x^{2} - 16 x + 56$ per $1$ .

$x^{2} - 16 x + 56 = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.3.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x^{2} - 16 x + 56 = 0$

Passaggio 2.3.7

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 16 - x$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 16$ e $c = 56$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 56)}}{2 \cdot 1} + y = 16 - x$

Passaggio 2.3.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1.1

Eleva $- 16$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.9.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.9.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $56$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.9.1.3

Sottrai $224$ da $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.9.1.4

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1.4.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.9.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.9.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.9.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.3.9.3

Semplifica $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

Passaggio 2.3.10

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.10.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.10.1.1

Eleva $- 16$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.10.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.10.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.10.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $56$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.10.1.3

Sottrai $224$ da $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.10.1.4

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.10.1.4.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.10.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.10.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.10.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.3.10.3

Semplifica $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

Passaggio 2.3.10.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = 8 + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 2.3.11

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1.1

Eleva $- 16$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.11.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.11.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $56$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.11.1.3

Sottrai $224$ da $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.11.1.4

Riscrivi $32$ come $4^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1.4.1

Scomponi $16$ da $32$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.11.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.11.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.3.11.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.3.11.3

Semplifica $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

Passaggio 2.3.11.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = 8 - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 2.3.12

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 3

Risolvi $y$ quando $x = 8 + 2 \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $x$ per $8 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = 16 - (8 + 2 \sqrt{2})$

Passaggio 3.2

Semplifica $16 - (8 + 2 \sqrt{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = 16 - 1 \cdot 8 - (2 \sqrt{2})$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$y = 16 - 8 - (2 \sqrt{2})$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = 16 - 8 - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $8$ da $16$ .

$y = 8 - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4

Risolvi $y$ quando $x = 8 - 2 \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $x$ per $8 - 2 \sqrt{2}$ .

$y = 16 - (8 - 2 \sqrt{2})$

Passaggio 4.2

Semplifica $16 - (8 - 2 \sqrt{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = 16 - 1 \cdot 8 - (- 2 \sqrt{2})$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$y = 16 - 8 - (- 2 \sqrt{2})$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$y = 16 - 8 + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $8$ da $16$ .

$y = 8 + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 5

La soluzione del sistema è l'insieme completo di coppie ordinate che sono soluzioni valide.

$(8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2})$

$(8 - 2 \sqrt{2}, 8 + 2 \sqrt{2})$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma punto:

$(8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2}), (8 - 2 \sqrt{2}, 8 + 2 \sqrt{2})$

Forma dell'equazione:

$x = 8 + 2 \sqrt{2}, y = 8 - 2 \sqrt{2}$

$x = 8 - 2 \sqrt{2}, y = 8 + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 7