Precalcolo Esempi

${(y - 1)}^{2} = 8 (x + 3)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$ .

$8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$

Passaggio 2

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 (x + 3) = {(y - 1)}^{2}$ .

$\frac{8 (x + 3)}{8} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 (x + 3)}{8} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8}$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi $x + 3$ per $1$ .

$x + 3 = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8}$

Passaggio 3

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = \frac{{(y - 1)}^{2}}{8} - 3$

Passaggio 4

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riordina i termini.

$x = \frac{1}{8} \cdot {(y - 1)}^{2} - 3$

Passaggio 4.2

Utilizza la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{8}$

$h = - 3$

$k = 1$

Passaggio 4.3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre a destra.

Si apre a destra

Passaggio 4.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 3, 1)$

Passaggio 4.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 4.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}}$

Passaggio 4.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.1

$4$ e $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{8}}$

Passaggio 4.5.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Passaggio 4.5.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Passaggio 4.5.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Passaggio 4.5.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4.5.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 \cdot 2$

Passaggio 4.5.3.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 4.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 4.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 1, 1)$

Passaggio 4.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$y = 1$

Passaggio 4.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 4.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = - 5$

Passaggio 4.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- 3, 1)$

Fuoco: $(- 1, 1)$

Asse di simmetria: $y = 1$

Direttrice: $x = - 5$

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- 3, 1)$

Fuoco: $(- 1, 1)$

Asse di simmetria: $y = 1$

Direttrice: $x = - 5$

Passaggio 5

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci il valore $- 2$ di $x$ in $f (x) = 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ . In questo caso, il punto è $(- 2, 3.82842712)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = 2 \sqrt{2 ((- 2) + 3)} + 1$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Somma $- 2$ e $3$ .

$f (- 2) = 2 \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Passaggio 5.1.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (- 2) = 2 \sqrt{2} + 1$

Passaggio 5.1.2.2

La risposta finale è $2 \sqrt{2} + 1$ .

$y = 2 \sqrt{2} + 1$

Passaggio 5.1.3

Converti $2 \sqrt{2} + 1$ in decimale.

$= 3.82842712$

Passaggio 5.2

Sostituisci il valore $- 2$ di $x$ in $f (x) = - 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ . In questo caso, il punto è $(- 2, - 1.82842712)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 ((- 2) + 3)} + 1$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Somma $- 2$ e $3$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2 \cdot 1} + 1$

Passaggio 5.2.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{2} + 1$

Passaggio 5.2.2.2

La risposta finale è $- 2 \sqrt{2} + 1$ .

$y = - 2 \sqrt{2} + 1$

Passaggio 5.2.3

Converti $- 2 \sqrt{2} + 1$ in decimale.

$= - 1.82842712$

Passaggio 5.3

Sostituisci il valore $- 1$ di $x$ in $f (x) = 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ . In questo caso, il punto è $(- 1, 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 2 \sqrt{2 ((- 1) + 3)} + 1$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Somma $- 1$ e $3$ .

$f (- 1) = 2 \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Passaggio 5.3.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (- 1) = 2 \sqrt{4} + 1$

Passaggio 5.3.2.1.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (- 1) = 2 \sqrt{2^{2}} + 1$

Passaggio 5.3.2.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- 1) = 2 \cdot 2 + 1$

Passaggio 5.3.2.1.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (- 1) = 4 + 1$

Passaggio 5.3.2.2

Somma $4$ e $1$ .

$f (- 1) = 5$

Passaggio 5.3.2.3

La risposta finale è $5$ .

$y = 5$

Passaggio 5.3.3

Converti $5$ in decimale.

$= 5$

Passaggio 5.4

Sostituisci il valore $- 1$ di $x$ in $f (x) = - 2 \sqrt{2 (x + 3)} + 1$ . In questo caso, il punto è $(- 1, - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = - 2 \sqrt{2 ((- 1) + 3)} + 1$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Somma $- 1$ e $3$ .

$f (- 1) = - 2 \sqrt{2 \cdot 2} + 1$

Passaggio 5.4.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (- 1) = - 2 \sqrt{4} + 1$

Passaggio 5.4.2.1.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (- 1) = - 2 \sqrt{2^{2}} + 1$

Passaggio 5.4.2.1.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- 1) = - 2 \cdot 2 + 1$

Passaggio 5.4.2.1.5

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f (- 1) = - 4 + 1$

Passaggio 5.4.2.2

Somma $- 4$ e $1$ .

$f (- 1) = - 3$

Passaggio 5.4.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$y = - 3$

Passaggio 5.4.3

Converti $- 3$ in decimale.

$= - 3$

Passaggio 5.5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 1 \\ - 2 & 3.83 \\ - 2 & - 1.83 \\ - 1 & 5 \\ - 1 & - 3 \end{array}$

Passaggio 6

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- 3, 1)$

Fuoco: $(- 1, 1)$

Asse di simmetria: $y = 1$

Direttrice: $x = - 5$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 1 \\ - 2 & 3.83 \\ - 2 & - 1.83 \\ - 1 & 5 \\ - 1 & - 3 \end{array}$

Passaggio 7