Precalcolo Esempi

$4 x^{2} - 3 x - 7$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Completa il quadrato per $4 x^{2} - 3 x - 7$ .

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Passaggio 1.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = - 3$

$c = - 7$

Passaggio 1.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$d = \frac{- 3}{8}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{3}{8}$

Passaggio 1.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 7 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$e = - 7 - \frac{9}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$e = - 7 - \frac{9}{16}$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Per scrivere $- 7$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{16}{16}$ .

$e = - 7 \cdot \frac{16}{16} - \frac{9}{16}$

Passaggio 1.1.1.4.2.3

$- 7$ e $\frac{16}{16}$ .

$e = \frac{- 7 \cdot 16}{16} - \frac{9}{16}$

Passaggio 1.1.1.4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e = \frac{- 7 \cdot 16 - 9}{16}$

Passaggio 1.1.1.4.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.5.1

Moltiplica $- 7$ per $16$ .

$e = \frac{- 112 - 9}{16}$

Passaggio 1.1.1.4.2.5.2

Sottrai $9$ da $- 112$ .

$e = \frac{- 121}{16}$

Passaggio 1.1.1.4.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = - \frac{121}{16}$

Passaggio 1.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $4 {(x - \frac{3}{8})}^{2} - \frac{121}{16}$ .

$4 {(x - \frac{3}{8})}^{2} - \frac{121}{16}$

Passaggio 1.1.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = 4 {(x - \frac{3}{8})}^{2} - \frac{121}{16}$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 4$

$h = \frac{3}{8}$

$k = - \frac{121}{16}$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 1.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(\frac{3}{8}, - \frac{121}{16})$

Passaggio 1.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$\frac{1}{16}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

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Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{3}{8}, - \frac{15}{2})$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = \frac{3}{8}$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

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Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = - \frac{61}{8}$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(\frac{3}{8}, - \frac{121}{16})$

Fuoco: $(\frac{3}{8}, - \frac{15}{2})$

Asse di simmetria: $x = \frac{3}{8}$

Direttrice: $y = - \frac{61}{8}$

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(\frac{3}{8}, - \frac{121}{16})$

Fuoco: $(\frac{3}{8}, - \frac{15}{2})$

Asse di simmetria: $x = \frac{3}{8}$

Direttrice: $y = - \frac{61}{8}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 4 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 - 7$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = 4 \cdot 1 - 3 \cdot - 1 - 7$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (- 1) = 4 - 3 \cdot - 1 - 7$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$f (- 1) = 4 + 3 - 7$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

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Passaggio 2.2.2.1

Somma $4$ e $3$ .

$f (- 1) = 7 - 7$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai $7$ da $7$ .

$f (- 1) = 0$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 2.3

Il valore $y$ con $x = - 1$ è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = 4 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 - 7$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.5.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = 4 \cdot 4 - 3 \cdot - 2 - 7$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f (- 2) = 16 - 3 \cdot - 2 - 7$

Passaggio 2.5.1.3

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$f (- 2) = 16 + 6 - 7$

Passaggio 2.5.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma $16$ e $6$ .

$f (- 2) = 22 - 7$

Passaggio 2.5.2.2

Sottrai $7$ da $22$ .

$f (- 2) = 15$

Passaggio 2.5.3

La risposta finale è $15$ .

$15$

Passaggio 2.6

Il valore $y$ con $x = - 2$ è $15$ .

$y = 15$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 4 {(1)}^{2} - 3 \cdot 1 - 7$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.8.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 4 \cdot 1 - 3 \cdot 1 - 7$

Passaggio 2.8.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (1) = 4 - 3 \cdot 1 - 7$

Passaggio 2.8.1.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f (1) = 4 - 3 - 7$

Passaggio 2.8.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 2.8.2.1

Sottrai $3$ da $4$ .

$f (1) = 1 - 7$

Passaggio 2.8.2.2

Sottrai $7$ da $1$ .

$f (1) = - 6$

Passaggio 2.8.3

La risposta finale è $- 6$ .

$- 6$

Passaggio 2.9

Il valore $y$ con $x = 1$ è $- 6$ .

$y = - 6$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = 4 {(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 7$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = 4 \cdot 4 - 3 \cdot 2 - 7$

Passaggio 2.11.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f (2) = 16 - 3 \cdot 2 - 7$

Passaggio 2.11.1.3

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$f (2) = 16 - 6 - 7$

Passaggio 2.11.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.1

Sottrai $6$ da $16$ .

$f (2) = 10 - 7$

Passaggio 2.11.2.2

Sottrai $7$ da $10$ .

$f (2) = 3$

Passaggio 2.11.3

La risposta finale è $3$ .

$3$

Passaggio 2.12

Il valore $y$ con $x = 2$ è $3$ .

$y = 3$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 15 \\ - 1 & 0 \\ \frac{3}{8} & - \frac{121}{16} \\ 1 & - 6 \\ 2 & 3 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(\frac{3}{8}, - \frac{121}{16})$

Fuoco: $(\frac{3}{8}, - \frac{15}{2})$

Asse di simmetria: $x = \frac{3}{8}$

Direttrice: $y = - \frac{61}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 15 \\ - 1 & 0 \\ \frac{3}{8} & - \frac{121}{16} \\ 1 & - 6 \\ 2 & 3 \end{array}$

Passaggio 4