Precalcolo Esempi

$x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 20 y - 2 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 20 y = 2$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $x^{2} - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 3}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.4

Dividi $- 3$ per $1$ .

$d = - 3$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $36$ per $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$e = 0 - 9$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $9$ da $0$ .

$e = - 9$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(x - 3)}^{2} - 9$ .

${(x - 3)}^{2} - 9$

Passaggio 1.3

Sostituisci $x^{2} - 6 x$ con ${(x - 3)}^{2} - 9$ nell'equazione $x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 20 y = 2$ .

${(x - 3)}^{2} - 9 + 4 y^{2} + 20 y = 2$

Passaggio 1.4

Sposta $- 9$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $9$ a entrambi i lati.

${(x - 3)}^{2} + 4 y^{2} + 20 y = 2 + 9$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $4 y^{2} + 20 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = 20$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{20}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $20$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $20$ .

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 (4)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{10}{4}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $10$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $10$ .

$d = \frac{2 (5)}{4}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{5}{2}$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{20^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $20$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{400}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$e = 0 - \frac{400}{16}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Dividi $400$ per $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 25$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$e = 0 - 25$

Passaggio 1.5.4.2.2

Sottrai $25$ da $0$ .

$e = - 25$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $4 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - 25$ .

$4 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - 25$

Passaggio 1.6

Sostituisci $4 y^{2} + 20 y$ con $4 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - 25$ nell'equazione $x^{2} + 4 y^{2} - 6 x + 20 y = 2$ .

${(x - 3)}^{2} + 4 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - 25 = 2 + 9$

Passaggio 1.7

Sposta $- 25$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $25$ a entrambi i lati.

${(x - 3)}^{2} + 4 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 2 + 9 + 25$

Passaggio 1.8

Semplifica $2 + 9 + 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma $2$ e $9$ .

${(x - 3)}^{2} + 4 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 11 + 25$

Passaggio 1.8.2

Somma $11$ e $25$ .

${(x - 3)}^{2} + 4 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 36$

Passaggio 1.9

Dividi per $36$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{36} + \frac{4 {(y + \frac{5}{2})}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Passaggio 1.10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{36} + \frac{{(y + \frac{5}{2})}^{2}}{9} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 6$

$b = 3$

$k = - \frac{5}{2}$

$h = 3$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(3, - \frac{5}{2})$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{36 - {(3)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{36 - 1 \cdot 9}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\sqrt{36 - 9}$

Passaggio 5.3.4

Sottrai $9$ da $36$ .

$\sqrt{27}$

Passaggio 5.3.5

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$\sqrt{9 (3)}$

Passaggio 5.3.5.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} \cdot 3}$

Passaggio 5.3.6

Estrai i termini dal radicale.

$3 \sqrt{3}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(3 + 6, - \frac{5}{2})$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(9, - \frac{5}{2})$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(3 - (6), - \frac{5}{2})$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(- 3, - \frac{5}{2})$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(9, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 3, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(9, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 3, - \frac{5}{2})$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(3 + 3 \sqrt{3}, - \frac{5}{2})$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(3 - (3 \sqrt{3}), - \frac{5}{2})$

Passaggio 7.5

Semplifica.

$(3 - 3 \sqrt{3}, - \frac{5}{2})$

Passaggio 7.6

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(3 + 3 \sqrt{3}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(3 - 3 \sqrt{3}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(3 + 3 \sqrt{3}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(3 - 3 \sqrt{3}, - \frac{5}{2})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(3)}^{2}}}{6}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 3^{2}}}{6}$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 9}}{6}$

Passaggio 8.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{\sqrt{36 - 9}}{6}$

Passaggio 8.3.1.4

Sottrai $9$ da $36$ .

$\frac{\sqrt{27}}{6}$

Passaggio 8.3.1.5

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.5.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{6}$

Passaggio 8.3.1.5.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{6}$

Passaggio 8.3.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{3 \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 8.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Scomponi $3$ da $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3})}{6}$

Passaggio 8.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(3, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(9, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 3, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(3 + 3 \sqrt{3}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(3 - 3 \sqrt{3}, - \frac{5}{2})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 10