Precalcolo Esempi

$x^{2} + 8 x = 4 y - 8$

Passaggio 1

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione come $4 y - 8 = x^{2} + 8 x$ .

$4 y - 8 = x^{2} + 8 x$

Passaggio 1.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 y = x^{2} + 8 x + 8$

Passaggio 1.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = x^{2} + 8 x + 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 y = x^{2} + 8 x + 8$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{8}{4}$

Passaggio 1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{8}{4}$

Passaggio 1.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{8}{4}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1.1

Scomponi $4$ da $8 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4} + \frac{8}{4}$

Passaggio 1.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4 (1)} + \frac{8}{4}$

Passaggio 1.3.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4 \cdot 1} + \frac{8}{4}$

Passaggio 1.3.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 x}{1} + \frac{8}{4}$

Passaggio 1.3.3.1.1.2.4

Dividi $2 x$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + \frac{8}{4}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Dividi $8$ per $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + 2$

Passaggio 2

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Completa il quadrato per $\frac{x^{2}}{4} + 2 x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = 2$

$c = 2$

Passaggio 2.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 2.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 2.1.1.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Passaggio 2.1.1.3.2.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = 1 \cdot 4$

Passaggio 2.1.1.3.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$d = 4$

Passaggio 2.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 2 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 2.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.4.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$e = 2 - \frac{4}{4 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.2

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$e = 2 - \frac{4}{\frac{4}{4}}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.3

Dividi $4$ per $4$ .

$e = 2 - \frac{4}{1}$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.4

Dividi $4$ per $1$ .

$e = 2 - 1 \cdot 4$

Passaggio 2.1.1.4.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = 2 - 4$

Passaggio 2.1.1.4.2.2

Sottrai $4$ da $2$ .

$e = - 2$

Passaggio 2.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $\frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} - 2$ .

$\frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} - 2$

Passaggio 2.1.2

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} - 2$

Passaggio 2.2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 4$

$k = - 2$

Passaggio 2.3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 2.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 4, - 2)$

Passaggio 2.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 2.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Passaggio 2.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.1

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Passaggio 2.5.3.2

Semplifica dividendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.3.2.1

Dividi $4$ per $4$ .

$\frac{1}{1}$

Passaggio 2.5.3.2.2

Dividi $1$ per $1$ .

$1$

Passaggio 2.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 2.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 4, - 1)$

Passaggio 2.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = - 4$

Passaggio 2.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 2.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = - 3$

Passaggio 2.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(- 4, - 2)$

Fuoco: $(- 4, - 1)$

Asse di simmetria: $x = - 4$

Direttrice: $y = - 3$

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(- 4, - 2)$

Fuoco: $(- 4, - 1)$

Asse di simmetria: $x = - 4$

Direttrice: $y = - 3$

Passaggio 3

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{4} + 2 (- 6) + 2$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$f (- 6) = \frac{36}{4} + 2 (- 6) + 2$

Passaggio 3.2.1.2

Dividi $36$ per $4$ .

$f (- 6) = 9 + 2 (- 6) + 2$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$f (- 6) = 9 - 12 + 2$

Passaggio 3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Sottrai $12$ da $9$ .

$f (- 6) = - 3 + 2$

Passaggio 3.2.2.2

Somma $- 3$ e $2$ .

$f (- 6) = - 1$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 3.3

Il valore $y$ con $x = - 6$ è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 3.4

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{2}}{4} + 2 (- 5) + 2$

Passaggio 3.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + 2 (- 5) + 2$

Passaggio 3.5.1.2

Moltiplica $2$ per $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} - 10 + 2$

Passaggio 3.5.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Scrivi $- 10$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10}{1} + 2$

Passaggio 3.5.2.2

Moltiplica $\frac{- 10}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10}{1} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Passaggio 3.5.2.3

Moltiplica $\frac{- 10}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + 2$

Passaggio 3.5.2.4

Scrivi $2$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1}$

Passaggio 3.5.2.5

Moltiplica $\frac{2}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 3.5.2.6

Moltiplica $\frac{2}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 5) = \frac{25 - 10 \cdot 4 + 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.5.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Moltiplica $- 10$ per $4$ .

$f (- 5) = \frac{25 - 40 + 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.5.4.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (- 5) = \frac{25 - 40 + 8}{4}$

Passaggio 3.5.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Sottrai $40$ da $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 15 + 8}{4}$

Passaggio 3.5.5.2

Somma $- 15$ e $8$ .

$f (- 5) = \frac{- 7}{4}$

Passaggio 3.5.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 5) = - \frac{7}{4}$

Passaggio 3.5.6

La risposta finale è $- \frac{7}{4}$ .

$- \frac{7}{4}$

Passaggio 3.6

Il valore $y$ con $x = - 5$ è $- \frac{7}{4}$ .

$y = - \frac{7}{4}$

Passaggio 3.7

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + 2 (- 2) + 2$

Passaggio 3.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{4} + 2 (- 2) + 2$

Passaggio 3.8.1.2

Dividi $4$ per $4$ .

$f (- 2) = 1 + 2 (- 2) + 2$

Passaggio 3.8.1.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f (- 2) = 1 - 4 + 2$

Passaggio 3.8.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.2.1

Sottrai $4$ da $1$ .

$f (- 2) = - 3 + 2$

Passaggio 3.8.2.2

Somma $- 3$ e $2$ .

$f (- 2) = - 1$

Passaggio 3.8.3

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 3.9

Il valore $y$ con $x = - 2$ è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 3.10

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{4} + 2 (- 3) + 2$

Passaggio 3.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + 2 (- 3) + 2$

Passaggio 3.11.1.2

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} - 6 + 2$

Passaggio 3.11.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.2.1

Scrivi $- 6$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6}{1} + 2$

Passaggio 3.11.2.2

Moltiplica $\frac{- 6}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{4}{4} + 2$

Passaggio 3.11.2.3

Moltiplica $\frac{- 6}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + 2$

Passaggio 3.11.2.4

Scrivi $2$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1}$

Passaggio 3.11.2.5

Moltiplica $\frac{2}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 3.11.2.6

Moltiplica $\frac{2}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.11.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 3) = \frac{9 - 6 \cdot 4 + 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.11.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.4.1

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$f (- 3) = \frac{9 - 24 + 2 \cdot 4}{4}$

Passaggio 3.11.4.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (- 3) = \frac{9 - 24 + 8}{4}$

Passaggio 3.11.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.11.5.1

Sottrai $24$ da $9$ .

$f (- 3) = \frac{- 15 + 8}{4}$

Passaggio 3.11.5.2

Somma $- 15$ e $8$ .

$f (- 3) = \frac{- 7}{4}$

Passaggio 3.11.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 3) = - \frac{7}{4}$

Passaggio 3.11.6

La risposta finale è $- \frac{7}{4}$ .

$- \frac{7}{4}$

Passaggio 3.12

Il valore $y$ con $x = - 3$ è $- \frac{7}{4}$ .

$y = - \frac{7}{4}$

Passaggio 3.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & - 1 \\ - 5 & - \frac{7}{4} \\ - 4 & - 2 \\ - 3 & - \frac{7}{4} \\ - 2 & - 1 \end{array}$

Passaggio 4

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(- 4, - 2)$

Fuoco: $(- 4, - 1)$

Asse di simmetria: $x = - 4$

Direttrice: $y = - 3$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & - 1 \\ - 5 & - \frac{7}{4} \\ - 4 & - 2 \\ - 3 & - \frac{7}{4} \\ - 2 & - 1 \end{array}$

Passaggio 5