Precalcolo Esempi

$y^{2} + 2 y - x = 0$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 y - x = - y^{2}$

Passaggio 1.2

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - y^{2} - 2 y$

Passaggio 2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - y^{2} - 2 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - y^{2} - 2 y$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{- 2 y}{- 1}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{- 2 y}{- 1}$

Passaggio 2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{- 1} + \frac{- 2 y}{- 1}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{y^{2}}{1} + \frac{- 2 y}{- 1}$

Passaggio 2.3.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$x = y^{2} + \frac{- 2 y}{- 1}$

Passaggio 2.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 2 y}{- 1}$ .

$x = y^{2} - 1 \cdot (- 2 y)$

Passaggio 2.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot (- 2 y)$ come $- (- 2 y)$ .

$x = y^{2} - (- 2 y)$

Passaggio 2.3.1.5

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$x = y^{2} + 2 y$

Passaggio 3

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Completa il quadrato per $y^{2} + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Passaggio 3.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 3.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = 1$

Passaggio 3.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.1.1.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Passaggio 3.1.1.4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Passaggio 3.1.1.4.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.1.1.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e = 0 - 1$

Passaggio 3.1.1.4.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$e = - 1$

Passaggio 3.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(y + 1)}^{2} - 1$ .

${(y + 1)}^{2} - 1$

Passaggio 3.1.2

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = {(y + 1)}^{2} - 1$

Passaggio 3.2

Utilizza la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 1$

$h = - 1$

$k = - 1$

Passaggio 3.3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre a destra.

Si apre a destra

Passaggio 3.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 1, - 1)$

Passaggio 3.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 3.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.3

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{4}$

Passaggio 3.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 3.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- \frac{3}{4}, - 1)$

Passaggio 3.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$y = - 1$

Passaggio 3.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 3.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = - \frac{5}{4}$

Passaggio 3.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- 1, - 1)$

Fuoco: $(- \frac{3}{4}, - 1)$

Asse di simmetria: $y = - 1$

Direttrice: $x = - \frac{5}{4}$

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- 1, - 1)$

Fuoco: $(- \frac{3}{4}, - 1)$

Asse di simmetria: $y = - 1$

Direttrice: $x = - \frac{5}{4}$

Passaggio 4

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

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Passaggio 4.1

Sostituisci il valore $0$ di $x$ in $f (x) = - 1 + \sqrt{1 + x}$ . In questo caso, il punto è $(0, 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - 1 + \sqrt{1 + 0}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (0) = - 1 + \sqrt{1 + 0}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $1$ e $0$ .

$f (0) = - 1 + \sqrt{1}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (0) = - 1 + 1$

Passaggio 4.1.2.3

Somma $- 1$ e $1$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 4.1.2.4

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 4.1.3

Converti $0$ in decimale.

$= 0$

Passaggio 4.2

Sostituisci il valore $0$ di $x$ in $f (x) = - 1 - \sqrt{1 + x}$ . In questo caso, il punto è $(0, - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - 1 - \sqrt{1 + 0}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (0) = - 1 - \sqrt{1 + 0}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Somma $1$ e $0$ .

$f (0) = - 1 - \sqrt{1}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (0) = - 1 - 1 \cdot 1$

Passaggio 4.2.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (0) = - 1 - 1$

Passaggio 4.2.2.3

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$f (0) = - 2$

Passaggio 4.2.2.4

La risposta finale è $- 2$ .

$y = - 2$

Passaggio 4.2.3

Converti $- 2$ in decimale.

$= - 2$

Passaggio 4.3

Sostituisci il valore $1$ di $x$ in $f (x) = - 1 + \sqrt{1 + x}$ . In questo caso, il punto è $(1, 0.41421356)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - 1 + \sqrt{1 + 1}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (1) = - 1 + \sqrt{1 + 1}$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$f (1) = - 1 + \sqrt{2}$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $- 1 + \sqrt{2}$ .

$y = - 1 + \sqrt{2}$

Passaggio 4.3.3

Converti $- 1 + \sqrt{2}$ in decimale.

$= 0.41421356$

Passaggio 4.4

Sostituisci il valore $1$ di $x$ in $f (x) = - 1 - \sqrt{1 + x}$ . In questo caso, il punto è $(1, - 2.41421356)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - 1 - \sqrt{1 + 1}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (1) = - 1 - \sqrt{1 + 1}$

Passaggio 4.4.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$f (1) = - 1 - \sqrt{2}$

Passaggio 4.4.2.3

La risposta finale è $- 1 - \sqrt{2}$ .

$y = - 1 - \sqrt{2}$

Passaggio 4.4.3

Converti $- 1 - \sqrt{2}$ in decimale.

$= - 2.41421356$

Passaggio 4.5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & - 2 \\ 1 & 0.41 \\ 1 & - 2.41 \end{array}$

Passaggio 5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- 1, - 1)$

Fuoco: $(- \frac{3}{4}, - 1)$

Asse di simmetria: $y = - 1$

Direttrice: $x = - \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & - 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & - 2 \\ 1 & 0.41 \\ 1 & - 2.41 \end{array}$

Passaggio 6