Precalcolo Esempi

$y^{2} - 4 y + 4 x + 4 = 0$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 y + 4 x + 4 = - y^{2}$

Passaggio 1.2

Somma $4 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x + 4 = - y^{2} + 4 y$

Passaggio 1.3

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = - y^{2} + 4 y - 4$

Passaggio 2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - y^{2} + 4 y - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - y^{2} + 4 y - 4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{4 y}{4} + \frac{- 4}{4}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{4 y}{4} + \frac{- 4}{4}$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{4 y}{4} + \frac{- 4}{4}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 y}{4} + \frac{- 4}{4}$

Passaggio 2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 y}{4} + \frac{- 4}{4}$

Passaggio 2.3.1.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + y + \frac{- 4}{4}$

Passaggio 2.3.1.3

Dividi $- 4$ per $4$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + y - 1$

Passaggio 3

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Completa il quadrato per $- \frac{y^{2}}{4} + y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = 1$

$c = - 1$

Passaggio 3.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 3.1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 3.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.2.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 3.1.1.3.2.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 3.1.1.3.2.2

$2$ e $\frac{1}{4}$ .

$d = - \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Passaggio 3.1.1.3.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.2.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$d = - \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Passaggio 3.1.1.3.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$d = - \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.1.1.3.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = - \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.1.1.3.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = - \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 3.1.1.3.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = - (1 \cdot 2)$

Passaggio 3.1.1.3.2.5

Moltiplica $- (1 \cdot 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.3.2.5.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Passaggio 3.1.1.3.2.5.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$d = - 2$

Passaggio 3.1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{1^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 3.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$e = - 1 - \frac{1}{4 (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 3.1.1.4.2.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = - 1 - \frac{1}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 3.1.1.4.2.1.2.2

$- 4$ e $\frac{1}{4}$ .

$e = - 1 - \frac{1}{\frac{- 4}{4}}$

Passaggio 3.1.1.4.2.1.3

Dividi $- 4$ per $4$ .

$e = - 1 - \frac{1}{- 1}$

Passaggio 3.1.1.4.2.1.4

Dividi $1$ per $- 1$ .

$e = - 1 - - 1$

Passaggio 3.1.1.4.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e = - 1 + 1$

Passaggio 3.1.1.4.2.2

Somma $- 1$ e $1$ .

$e = 0$

Passaggio 3.1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- \frac{1}{4} {(y - 2)}^{2} + 0$ .

$- \frac{1}{4} {(y - 2)}^{2} + 0$

Passaggio 3.1.2

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = - \frac{1}{4} \cdot {(y - 2)}^{2} + 0$

Passaggio 3.2

Utilizza la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 0$

$k = 2$

Passaggio 3.3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola è rivolta a sinistra.

Rivolta a sinistra

Passaggio 3.4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(0, 2)$

Passaggio 3.5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 3.5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Passaggio 3.5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 3.5.3.2

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Passaggio 3.5.3.3

Dividi $4$ per $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Passaggio 3.5.3.4

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{1}$

Passaggio 3.5.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 3.5.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 3.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 3.6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 1, 2)$

Passaggio 3.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$y = 2$

Passaggio 3.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 3.8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = 1$

Passaggio 3.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(0, 2)$

Fuoco: $(- 1, 2)$

Asse di simmetria: $y = 2$

Direttrice: $x = 1$

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(0, 2)$

Fuoco: $(- 1, 2)$

Asse di simmetria: $y = 2$

Direttrice: $x = 1$

Passaggio 4

Seleziona alcuni valori di $x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di $y$ . I valori di $x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci il valore $- 2$ di $x$ in $f (x) = 2 + 2 \sqrt{- 1 x}$ . In questo caso, il punto è $(- 2, 4.82842712)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = 2 + 2 \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (- 2) = 2 + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.1.2.2

La risposta finale è $2 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = 2 + 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.1.3

Converti $2 + 2 \sqrt{2}$ in decimale.

$= 4.82842712$

Passaggio 4.2

Sostituisci il valore $- 2$ di $x$ in $f (x) = 2 - 2 \sqrt{- 1 x}$ . In questo caso, il punto è $(- 2, - 0.82842712)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = 2 - 2 \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (- 2) = 2 - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.2.2.2

La risposta finale è $2 - 2 \sqrt{2}$ .

$y = 2 - 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.2.3

Converti $2 - 2 \sqrt{2}$ in decimale.

$= - 0.82842712$

Passaggio 4.3

Sostituisci il valore $- 1$ di $x$ in $f (x) = 2 + 2 \sqrt{- 1 x}$ . In questo caso, il punto è $(- 1, 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 2 + 2 \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- 1) = 2 + 2 \sqrt{1}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (- 1) = 2 + 2 \cdot 1$

Passaggio 4.3.2.1.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (- 1) = 2 + 2$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$f (- 1) = 4$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $4$ .

$y = 4$

Passaggio 4.3.3

Converti $4$ in decimale.

$= 4$

Passaggio 4.4

Sostituisci il valore $- 1$ di $x$ in $f (x) = 2 - 2 \sqrt{- 1 x}$ . In questo caso, il punto è $(- 1, 0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 2 - 2 \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- 1) = 2 - 2 \sqrt{1}$

Passaggio 4.4.2.1.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$f (- 1) = 2 - 2 \cdot 1$

Passaggio 4.4.2.1.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f (- 1) = 2 - 2$

Passaggio 4.4.2.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (- 1) = 0$

Passaggio 4.4.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 4.4.3

Converti $0$ in decimale.

$= 0$

Passaggio 4.5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 4.83 \\ - 2 & - 0.83 \\ - 1 & 4 \\ - 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}$

Passaggio 5

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(0, 2)$

Fuoco: $(- 1, 2)$

Asse di simmetria: $y = 2$

Direttrice: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 4.83 \\ - 2 & - 0.83 \\ - 1 & 4 \\ - 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}$

Passaggio 6